Лекция 4. Стохастические модели

Одной из важнейших характеристик перекрестка является дли­на очереди автомобилей, ожидающих проезда. Построим про­стую модель образования очереди на перекрестке со светофор­ным регулированием. Рассмотрим пересечение двух дорог с од­носторонним движением. Пусть т+ - длительность горения зе­леного света, а т - длительность всего цикла светофора. Пред­положим, что когда для одной полосы загорелся красный свет, зеленый свет для второй полосы загорается спустя некоторое время, чтобы „проскочившие“ автомобили успели проехать.

Пусть поток автомобилей, проходящих через точку А (некото­рую точку на участке дороги перед перекрестком), есть простей­ший поток с параметром Л, Л > 0. При накоплении автомобилей в системе точка А сдвигается влево (рис.3).

Рис. 3: Модель очереди на перекрестке.

Автомобили, поступающие в систему, либо пересекают пере­кресток (получают обслуживание как запросы), если проезд сво­боден и горит зеленый свет, либо становятся в очередь у пере­крестка. Предположим, что водители не едут на красный свет, даже если на пересекающей полосе пусто.

Обслуживание одного автомобиля в рамках данной модели представляет собой проезд через точку В начало перекрест­ка. Примем время проезда через точку В одинаковым для всех автомобилей и равным T, Т > 0. За это время следующий ав­томобиль подъезжает к перекрестку (точке В) и ждет своего облуживания. Таким образом, поведение перекрестка будет опи­сывается с помощью однолинейной системы массового обслужи­вания (СМО) с ожиданием и буфером размера M (максимальное число автомобилей, способных поместиться на дороге), MgN.

Будем искать среднюю длину очереди. Допустим, что перед перекрестком может стоять не более M автомобилей, M > 1. Каждый автомобиль занимает одну ячейку (одинаковой длины для всех автомобилей). Когда первый автомобиль проезжает че­рез перекресток, остальные, стоящие в очереди, подвигаются на одну ячейку вперед.

Подсчитаем, сколько автомобилей могут проехать перекресток за период горения зеленого света. За единицу времени через пе­рекресток могут проехать T-¹ автомобилей. Значит, на зеленый свет через перекресток могут проехать τ+T^-1автомобилей. Та­ким образом, величина представляет собой пропускную способность перекрестка за вре­мя горения зеленого света, где [•] есть целая часть числа. Рассмотрим накопление автомобилей в системе за время од­ного цикла светофора. Будем исследовать поведение системы в моменты времени nT, n = 0, N, то есть моменты начала пери­ода зеленого света и моменты окончания обслуживания запро­сов (автомобилей). Обозначим через p вероятности того, что в момент времени nT + 0 (непосредственно сразу после ухода ав­томобиля из очереди) длина очереди составляет i автомобилей, n = 0, N, i = 0, M. Обозначим также через P_t(t) вероятность того, что за время t в систему приедут i автомобилей, i > 0. Выражение для P_t(t) имеет вид

Уравнения для вероятностей p⁽_iⁿ⁾,n = 0, N, i > 0 имеют вид

причем каждая группа вероятностей p_i⁽ⁿ⁾, i = 0,M удовлетворяет условиям нормировки

Обозначим через

и распишем систему (41) более подробно:

Запишем системы (43) и (44) в матричном виде

Где

Из системы (45) и условия нормировки (42) при n = 0 находим значение для вектора

где

Остальные векторы вероятностей находим с помощью равенств

Тогда средняя длина очереди на перекрестке к моменту начала периода зеленого света равна