Кусочно-определённые базисные функции
В рассмотренных ранее методах аппроксимации предполагалось, что базисные , входящие в разложение были определены одним выражением (одной формулой) на всей области , а интегралы в аппроксимирующих выражениях вычислялись сразу по всей области. Альтернативный подход состоит в разбиении области на ряд подобластей или элементов и использовании базисных функций, определённых кусочным способом (с применением различных выражений для разных подобластей , из которых составлена вся область), и затем в построении аппроксимации отдельно на каждой области. В этом и будет состоять основная идея метода конечных элементов.
Рассмотрим построение аппроксимации для произвольной функции , определённо на отрезке . Разобьем область на неперекрывающихся отрезков (элементов) точками (узлами) . Для приближения заданной функции будем использовать систему функций , каждая из которых представляет собой кусочно-линейную функцию
, (1) где – длина отрезка. Эти функции называются глобальными базисными функциями и обладают тем свойством, что отличны от нуля только в подобласти (только на элементах, примыкающих к узлу ), причем
Тогда, глобальную аппроксимацию заданной функции можно записать в виде в , (2) где – значение функции в узле . Постановка соответствующих значений в узлах гарантирует, что это представление автоматически принимает нужные значения в граничных точках отрезка.
На каждом элементе функция может быть выражена с помощью двух линейных базисных функций элемента и . (3) Тогда, , на . (4) На крайних сегментах и . (5)
Функции (3) называют базисными или координатными функциями. Например, для , определенной на построим кусочно-линейную аппроксимацию для системы узлов: , , , .
Пусть на отрезке заданная упорядоченная система несовпадающих точек . . Определение. Сплайном называется определенная на функция, принадлежащая классу раз непрерывно дифференцируемых функций, такая, что на каждом промежутке , – это многочлен степени - . Разность между степенью сплайна и показателем её гладкости называется дефектом сплайна. Построенная аппроксимация представляет собой сплайн первой степени дефекта один . Таким образом, аппроксимация кусочно-линейными функциями обеспечивает непрерывность и совпадение значений с аппроксимируемой функцией в узловых точках.
Предположим, что у аппроксимируемой функции известны не только значения в узлах, но и значения её производных. Например, требуется аппроксимировать кубическим сплайном функцию, которая, с производной, принимает в заданных точках отрезка значения
Эта задача может быть решена непосредственно из заданных граничных условий. Однако на практике удобнее использовать приём, заключающийся в представлении всякого кубического сплайна линейной комбинацией четырёх простых специально подобранных базисных сплайнов , , , . Конкретно, подбирают так, чтобы их краевые значения на отрезке были, как указано в таблице. Тогда искомая аппроксимация будет иметь вид . Построение самих базисных сплайнов для комбинации условий, даваемых таблицей, не является сложной задачей. Например, рассмотрим построение . , . Учитывая краевые условия, получим систему уравнений , из которой, находим . Таким образом, . Аналогично получаем , , .
Построим аппроксимацию функции на отрезке по таблице
Популярное: ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (437)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |