Параллельный перенос. Метод параллельного переноса
Задача 1 Постройте трапецию по заданным сторонам. Анализ. Пусть трапеция АВСD построена, ВС= а, АD= b, AB= c, CD= d Выполним параллельный перенос, определяемый вектором СВ. Тогда сторона СD перейдёт в BD . Треугольник АВD можно построить по трём сторонам c, d, b-a (b>a). Затем продолжим отрезок АD на D D = a. Через точку В проведем прямую, параллельную АD и на ней отложим отрезок ВС= а. Соединим точки С и D. Полученная трапеция АВСD – искомая. План построения очевиден. Доказательство. В четырехугольнике АВСD BC параллельна AD, значит ABCD – трапеция в которой AB = c, AD =b, так как AD= b – a + a. BD = CD = d. Исследование. Треугольник ABD можно построить по трём сторонам, если c – d < b – a < c + d. При этом условии однозначно выполнимы и все остальные шаги построения. Если неравенство c – d < b – a < c + d не выполняется, то задача при выбранных данных не имеет решения. Задача 2 Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между диагоналями. Анализ. Пусть ABCD – искомый параллелограмм и АВ = а, ВС = b, угол между диагоналями равен α. Если выполнить параллельный перенос на вектор ВС, то ТВС(D) = D1. Тогда AD1 = 2b, РACD1 = a, D – середина отрезка AD1 и DC = а. Значит, точка С принадлежит геометрическому месту точек из которых отрезок AD1 виден под углом a, и окружности S (D; a). Построение. AD1 = 2b; F1 – геометрическое место точек из которых отрезок AD1 виден под углом a; D – серединаотрезка AD1; S = S (D; a); CОF1З S (D; a); B = TDA(C). ABCD – искомый параллелограмм. Метод параллельного переноса.
Параллельный перенос. Метод параллельного переноса Пусть а1 и а2 – две параллельные прямые. Пусть Х – произвольная точка плоскости. Построим точку Х¢, симметричную точке Х относительно прямой а1, а затем построим точку Х¢¢, симметричную точке Х¢ относительно прямой а2 (рис. 16). Преобразование, которое сопоставляет точке Х точку Х¢¢ указанным образом, называется параллельным переносом. Можно показать, что это преобразование обладает следующим свойством: все отрезки, каждый из которых соединяет две соответственные точки, равны, параллельны и направлены в одну сторону (каждый из них равен удвоенному расстоянию между а1 и а2). Другими словами, фигура F1 преобразуется в фигуру F2 так, как будто все точки фигуры F1 перенесены по прямым, перпендикулярным осям, в направлении от а1 к а2 на расстояние, равное удвоенному расстоянию между прямыми а1 и а2. Преобразование переноса имеет большое применение при решении задач на построение; оно также служит цели раскрытия свойств искомых элементов. При этом чаще всего выполняется перенос некоторых известных элементов фигуры. Рассмотрим следующий пример. Задача 7.Даны окружность О, две ее точки А и В и прямая а, от которой окружность отсекает хорду CD. Требуется найти такую точку М окружности, чтобы отрезок PQ хорды CD, заключенный между хордами АМ и ВМ, был равен данному отрезку b. Анализ. Пусть задача решена и точка М найдена (рис. 17). Если будет отыскана одна из точек P или Q, то просто отыскать и точку М. Поэтому пусть, например, точка Q – искомая. Пока очевидно лишь одно свойство этой точки: QÌа. Второе свойство пока не усматривается. Для выяснения этого свойства выполним параллельный перенос, определяемый вектором . Тогда точка А преобразуется в А¢, точка P – в Q. Рассматривая образовавшуюся фигуру, видим такое свойство точки Q: отрезок А¢В из нее виден под углом j, который измеряется половиной известной дуги AnB. Поэтому, если точка Qсуществует, то она является точкой пересечения прямой а и дуги сегмента, построенного на отрезке А¢В и вмещающего угол j. Рассмотрим теперь следующую метрическую задачу. Задача 8. Построить четырехугольник, если известны три его стороны и два внутренних острых угла, прилежащих к четвертой стороне. Анализ. Примем за известные вершины четырехугольника точки А и В (рис. 18). Тогда вершины С и D – искомые. Достаточно найти одну из них.Установим, например, свойства точки D. Очевидно, что DÌAD. Второе свойство точки D пока неочевидно.Выполним (определяемый вектором ) параллельный перенос отрезка ВС. Тогда ломаная АВD¢может быть построена, и становится очевидным второе свойство точки D: D принадлежит окружности (D¢, b).Дальнейший ход рассуждений ясен.Если в каждой из двух рассмотренных задач довести решение до конца, то мы будем иметь пример применения метода параллельного переноса в решении задач на построение.Во многих задачах на построение четырехугольников параллельный перенос быстрее приводит к цели, если заранее изучить основные свойства фигур, образующихся после определенного переноса некоторых элементов четырехугольника. Введение
Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н.э., ясно показывают какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» – эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних. Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными, и вот уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии. Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной обработке умений и навыков. А это в свою очередь усиливает прикладную и политехническую направленность обучения геометрии. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение. Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке учащихся. Ни один вид задач не дает, пожалуй столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2607)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |