Полиномиальная интерполяция
Интерполирование функций Постановка задачи В некоторой ограниченной области значений на плоскости (x,y) заданы n+1 точка: {x0, y0; x1,y1; … xn,yn}, (где xi расположены в порядке возрастания) отражающие в дискретном виде функциональную зависимость y от x. Эти точки называются узлами интерполяции. Решить задачу интерполирования, это значит найти значение y(x) для промежуточных значений x. Задача интерполирования решается путем построения интерполяционной функции F(x), такой, что , , … , . Иначе говоря – проходящей через все узлы интерполяции. После этого искомое значение y(x) вычисляется как значение F(x). Если приближенное значение зависимости ищется за пределами области, т.е. при , то это называют экстраполирование.
Полиномиальная интерполяция Если в качестве интерполяционной функции строится алгебраический многочлен – полином, то говорят о полиномиальной интерполяции. Согласно теореме единственности, через точку можно провести только один полином n-ой степени. Этот полином может иметь различную форму записи. Различают записи с помощью формул Ньютона и Лагранжа. Полином Лагранжа. Наиболее общим вариантом интерполяционного полинома является полином Ланранжа. Он может быть получен при переменном шаге по x между узлами интерполяции. Не допускается лишь совпадение x-координат узлов. Для построения интерполяционного полинома Лагранжа используется базис, составленный из полиномов n-ой степени: (x) (i=0,n), удовлетворяющих условиям: ; при . Pi(x) имеет следующий вид: . Интерполяционный полином Лагранжа строится в виде: , Нетрудно показать, что он проходит через все узлы интерполяции: . Полином можно записать в общем виде: . Иногда его записывают как , где , .
Произведение последнего столбца таблицы дает . Вычисление приведено ниже. Окончательно . В случае равноотстоящих узлов интерполяционную формулу Лагранжа можно преобразовать к следующей форме: , где , , .
Интерполяционные полиномы Ньютона. Полиномиальная интерполяция по Ньютону производится при равноотстоящих по x узлах интерполяции. Первая интерполяционная формула Ньютона строится в виде: , где коэффициенты определяются из соотношения , ( ). При нахождении коэффициентов используется понятие конечной разности. Для функции : - первая конечная разность, - вторая конечная разность. В узловых точках имеем: , . Аналогично для конечных разностей высших порядков . Итоговая формула, которая называется первой интерполяционной формулой Ньютона (в случае равноотстоящих узлов) имеет вид: , где , h - шаг (расстояние между соседними точками). При малых q членами высоких порядков в формуле можно пренебречь, поэтому первую формулу Ньютон обычно используют в случае, когда x близка к х0. Ниже в таблице приведен пример таблично заданной функции и ее конечных разностей (до третьего порядка). Используя данную таблицу и формулу Ньютона (ограничиваясь членами третьего порядка по q) можно вычислить функцию, например, в точке .
Тогда , .
Примечание. При вычислениях, в качестве х0 лучше выбирать ближайшую точку к х. Например, для точки удобней выбрать , тогда соответственно , … При вычислениях значений функции, близких к концу таблицы, первая формула Ньютона может оказаться мало пригодной из-за того, что члены высоких порядков велики и их нельзя сократить. В этом случае используют вторую формулу Ньютона, которая получается, если полином искать в виде: Вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид: , где . Вычислим функцию в точке , тогда , , , , … и, в результате (с точностью до третьего порядка по q) .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (4163)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |