Колебания одномерной решетки с базисом
ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
Процессы колебания атомов кристалла связаны с такими физическими явлениями, как распространение звука, тепла, с теплоемкостью и диффузией атомов, с тепловым расширением твердых тел и др. Электропроводность тоже зависит от колебаний атомов.
Колебания атомов кристаллической решетки Атомы твердого тела колеблются относительно положения равновесия при любых температурах, в том числе и при 0 К (нулевые колебания). При малых амплитудах (в области, описываемой параболой) колебания можно считать гармоническими. Найдем закон дисперсии w = f( ) или .
Одномерные колебания однородной струны Рассмотрим распространение продольных волн в однородной неограниченной струне с линейной плотностью r (рис. 5.1). На элемент толщиной Dх действуют силы Ss(x) слева и Ss(x + Dх) справа, где S – площадь, s(x) – нормальное упругое напряжение. Таким образом на элемент Dх действует результирующая сила . (5.1) Под действием этой силы происходит смещение U(x,t) центра масс элемента Dх и с учетом второго закона Ньютона уравнение движения будет: (5.2)
Рис. 5.1. Однородная бесконечная струна
(5.3)
Так как в соответствии с законом Гукаs = Еe = Е , то при Dх ® 0 . (5.4) Волновое уравнение для упругих волн, распространяющихся вдоль струны: (5.5) Решение уравнения (5.5) – бегущая продольная монохроматическая волна: . (5.6) Подставив (5.6) в (5.5), получим: , (5.7) т.е. w линейно и непрерывно зависит от k (рис.5.2). Продольная скорость распространения упругой волны: . (5.7) Типичное значение = 5×103 м/c (железо).
Рис. 5.2. Зависимость частоты w (энергии ) колебаний струны от волнового вектора
Так как k меняется от 0 до ¥, то и w меняется от 0 до ¥ непрерывно. Так же меняется и энергия колебаний E = . Угол наклона w = f(k) пропорционален скорости .
Колебания одноатомной линейной цепочки В качестве одномерной модели твердого тела рассмотрим цепочку из N одинаковых атомов массой m и межатомным расстоянием a, которые могут перемещаться только вдоль оси х. Таким образом каждый атом обладает одной степенью свободы, а вся система N cтепенями свободы (рис. 5.3). Рис. 5.3. Линейная цепочка одинаковых атомов
Сместим из равновесия атом с номером n на расстояние Un. По цепочке пройдет волна сжатия. Найдем уравнение движения n-го атома. Пусть его смещение Un(x,t) невелико по сравнению с a, т.е. силы со стороны соседей можно считать квазиупругими и согласно закону Гука они пропорциональны смещениям. Действие силы Гука уравновешивается обычной силой Ньютона. Учтем только ближайшие атомы: (5.8) Соответствующее уравнение движения: (5.9) Решение (2) ищем в виде бегущей волны: , (5.10) где U0 – амплитуда; ; w – круговая частота. Подставив (5.10) в (5.9), имеем: , (5.11) так как тогда (5.12) Это периодическая функция, w – четная функция k: w2(k) = w2(–k) (рис. 5.4).
Рис. 5.4. Зависимость частоты колебаний w цепочки атомов от волнового вектора
Из (5.12) следует, что все атомы колеблются с дискретными частотами w, зависящими от ( ; ). (5.13) , (5.14) с другой стороны wmax » зв ×kmax = зв ×(p/a). wmax = 5×103 м/с×1010 м–1 @ 5×1013 с–1. Из рис. 5.5 видно, что короткие волны распространяются медленнее, чем длинные, из-за инерции масс частиц цепочки. Для длинных волн (k мало) фазовая скорость: (5.15)
Рис. 5.5. Групповая гр и фазовая скорости распространения колебаний в цепочке атомов Так как скорость звука зависит от l: (дис-персия), то распространение характеризуется фазовой и групповой гр скоростями: , (5.16) при (5.17) Фазовая скорость характеризует перемещение фазы колебаний. При малых значениях k: = гр = зв. Групповая скорость характеризует перемещение вещества или перенос энергии колебаний и при : гр = 0, т.е. при этих условиях образуются стоячие волны и энергия не переносится. В бесконечной цепочке трудно определить граничные условия, но такую цепочку можно смоделировать кольцом, таким образом, что последний атом n = N находится на расстоянии a от первого n = 1. Это периодические граничные условия Борна-Кармана (условия цикличности): Un+N = Un, т.е. из (5.10) (5.18) Это справедливо, если exp(ikNa) = 1, или kNa = 2pn (n = 0, ±1, ±2, ... ), т.е. (5.19) Таким образом, k – квантуется (N штук) (рис. 5.4). Границы зоны Бриллюэна: . Зона Бриллюэна – это интервал значений волновых векторов , содержащий все возможные значения энергии системы, повторяющиеся с периодом . Число собственных значений k в пределах зоны Бриллюэна равно N – числу атомов или элементарных ячеек в цепочке (число нормальных колебаний).
Колебания одномерной решетки с базисом Пусть линейная цепочка состоит из атомов двух сортов с массами m1 и m2, т.е. одномерная решетка с базисом 2 (рис. 5.6) (Ge, Si, A3B5 и др.). Пусть коэффициент квазиупругой силы b всюду одинаков. Тогда уравнения движения обоих сортов атомов: (5.20) (5.21) Решение этих уравнений будем искать в виде: (5.22) Подставляя (5.22) в (5.21) и (5.20), получаем: (5.23) Эта система имеет решение относительно А1 и А2, если детерминант ее равен нулю, т.е. (5.24) Так как eika + e–ika = 2 Coska; 1 – Coska = 2Sin2(ka/2), то (5.25) , (5.26) где ;
Рис. 5.6. Линейная цепочка двух разных атомов
Таким образом, существует два корня уравнения (5.23): оптич. (5.27) акустич. (5.28) Проанализируем оптическую и акустическую моды колебаний. Частоты колебаний при q = 0: ; (5.29) Каждому значению l (k) соответствуют две моды колебаний (два значения). Из (5.22) и (5.23) для k = 0: (5.30) Все атомы колеблются в фазе. (5.31) Атомы смещаются в противофазе (рис.5.7).
Рис. 5.7. Акустические и оптические колебания разных атомов
При малых k @ 0 можно считать и, разлагая корни (5.27) и (5.28) в ряд дважды, получим: , (5.32) т.е. с ростом k wоп уменьшается квадратично. , Для акустических колебаний: (5.33) ф ак = гр ак = зв Оптические колебания меняют электрический дипольный момент заряженных атомов, что ведет к поглощению или испусканию ИК-излучения. При kmax = p/a из (5.27) и (5.28): (5.34)
Спектры акустических и оптических колебаний показаны на рис. 5.8. Возможно появление зоны запрещенных энергий (частот).
Рис. 5.8. Спектр колебаний линейной цепочки атомов с базисом 2 Краткие выводы 1) Колебания однородной струны характеризуются непрерывным спектром энергий от 0 до ¥ и непрерывным изменением k от 0 до ¥. w = ×k. 2) В одноатомной линейной цепочке устойчиво существует набор нормальных дискретных мод для (первой зоны Бриллюэна). 3) Нормальные частоты первой зоны Бриллюэна периодически повторяются через . Граница зоны Бриллюэна определяется lmax = 2a, тогда как lmin = 2L (длина цепочки). 4) На границе зоны Бриллюэна гр = 0 (стоячая волна). периодичность свойств является следствием граничных циклических условий Борна-Кармана и периодического расположения атомов в цепочке. 5) В одномерной решетке с базисом распространяется два типа колебаний: акустические (в фазе) и оптические (в противофазе). При k = 0 wак = 0, wоп = wо.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1443)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |