Приближение слабой связи
В качестве исходного состояния (нулевого приближения) выбирается энергетический спектр свободного электрона (рис. 7.2), а периодический потенциал кристаллической решетки рассматривается как малое возмущение. Исходное уравнение: Из теории возмущений (без учета вырождения) поправки к энергии первого порядка определяются диагональным матричным элементом матрицы оператора возмущений: , (7.48) т.е. результат аналогичен приближению сильной связи, так как – это среднее значение оператора возмущений. Поправка второго порядка: (7.49)
Рис. 7.2. Энергия свободного электрона в одномерном кристалле при равной нулю амплитуде периодического потенциала
С помощью этой поправки вычисляется поправка первого порядка волновой функции: (7.50) Недиагональные матричные элементы: (7.51) Чтобы найти явный вид матричных элементов оператора возмущения, представим в виде разложения в ряд Фурье по обратной решетке: (7.52) Для кубической решетки Недиагональный матричный элемент (7.51) в единице объема: (7.53) Таким образом, недиагональные матричные элементы могут быть равны нулю или при . Тогда поправка второго порядка: (7.54) Волновая функция (7.55) Эти условия означают, что вдали от особых точек энергия электрона в кристалле не отличается от энергии свободного электрона и только в особых точках возмущение со стороны кристаллической решетки велико. Эти точки определяют границы зон Бриллюэна (рис. 7.3).
Рис. 7.3. Энергетический спектр электронов в кристалле в приближении слабой связи
Условие (7.55) соответствует вырождению, когда одному значению энергии соответствуют две волновые функции и . Это означает, что уже в нулевом приближении необходимо учитывать обе волновые функции, т.е. рассматривать теорию возмущений с учетом вырождения. Нулевое приближение вырожденного состояния: (7.56) без вырождения b = 0. Снова находим , но с учетом вырождения (7.56): (7.57) Обозначим , , с учетом вырождения (7.56) уравнение (7.57) имеет вид: (7.58) (7.59) (7.60) Нетривиальное решение системы (7.60) возможно, если детерминант равен нулю: (7.61) Учитывая U11 = U22 = <U> ® 0, из (7.61) имеем: (7.62) (7.63) (7.64) 1. В первом приближении спектр энергии свободного электрона понижается на величину <U> без изменения зависимости . 2. При наложении возмущения со стороны кристаллической решетки на свободное движение электрона энергия электрона терпит разрыв на границах зоны Бриллюэна . В этих точках . 3. В результате разрыва энергии имеем зоны разрешенных и запрещенных энергий. 4. Все электрофизические свойства кристалла можно рассматривать в пределах первой зоны Бриллюэна.
Популярное: ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (889)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |