Метод регрессионного анализа

 

Для аппроксимации функциональной зависимости между переменными х и у, значения которых заданы в виде статистических распределений, можно использовать любую функцию f_y(x), называемую регрессией у на х.

При построении математических моделей технологических процессов используют следующие виды аппроксимаций статистической зависимости:

1. Линейная

у = bх + c,

 

где

 

; .

 

2. Параболическая

у = ах² + bx + c,

 

Параметры этой криволинейной зависимости находят из системы уравнений:

 

 

Данную систему уравнений решают методом Гаусса. Правильность решения системы уравнений проверяют по уравнению

 

`y = c + b + a( )²,

 

где

 

.

 

После построения регрессионных уравнений необходимо проверить их на значимость (приводит ли изменение входного фактора х на изменение величины выходного фактора у) и адекватность (уравнение регрессии достаточно правильно или неправильно отображает наблюдаемый разброс величины у).

В табл. 1 представлены результаты для анализа оценки значимости и адекватности уравнений регрессий (линейной и параболической).

Суммы квадратов (табл. 1) вычисляем по следующим уравнениям:

 

; ;

.

 

Таблица 1

Результаты анализа для оценки значимости и адекватности уравнений регрессий

Источник изменчивости	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	F-отношение
Сумма	iu – 1	So	–	–
Регрессия		Sрег	Мрег = Sрег	F =
Остаток	iu – 2	Sост = So – Sрег	s2ост =	–
Неадекватность	i – 2	Sад = Sост – Sош	Мад =	F =
Чистая ошибка	i(u – 1)	Sош	s2ош =	–

 

Уравнение регрессии значимо (на уровне значимости a, при проведении экспериментов в технологических системах a = 0,05 или a = 0,01), если

.

Уравнение регрессии адекватно, если

.

Далее определяем коэффициент корреляции регрессии R

.

 

3. Пример построения математической модели процесса токарной обработки

 

 

Исходные данные для математического моделирования процесса представлены в табл. 2.

 

Таблица 2

Исходные данные для математического моделирования процесса

Soi, мм/об	EFRi, мкм	, мкм	, мкм	, мкм2
0,07	38, 45, 42, 39, 36
0,085	27, 34, 32, 26, 31
0,1	18, 23, 25, 17, 17
0,2	35, 46, 37, 39, 43
0,3	54, 56, 46, 48, 46

 

Рассчитываем параметры корреляционного и регрессионного анализа согласно п. 2.1 и 2.2.

 

0,151 мм/об;

 

(38 + 45 + 42 + 39 + 36 + 27 + 34 + 32 + 26 +

+ 31 + 18 + 23 + 25 + 17 + 17 + 35 + 46 + 37 + 39 +

+ 43 + 54 + 56 + 46 + 48 + 46) = 36 мкм;

 

 

0,0976217 мм/об;

 

= 54,037/4,89898 = 11,03026 мкм;

 

= 0,736

 

Определяем r_кр.

 

= = 0,3995.

 

Вывод: так как r = 0,736 > r_кр =0,3995, то между выходной переменной у и входной переменной х имеется функциональная зависимость.

Определяем корреляционное отношение Пирсона h_х/у (для зависимости х от у) и h_у/х (для зависимости у от х):

 

где l = l¢ = 5; m_j =5; m_j¢ = 1.

 

Вывод. Между переменными x и y, y и x имеется детерминированная функциональная зависимость, а также между переменными x и y существует нелинейная зависимость. При построении математической модели технологического процесса используем параболическую зависимость.

Параболическая аппроксимация корреляционного поля.

 

у = ах² + bx + c,

 

Параметры этой криволинейной зависимости находят из системы уравнений:

 

Решая эту систему уравнений методом Гаусса, получим следующее уравнение:

 

y = 629,49468x² – 147,8035x + 39,1659 мкм.

 

Проверяем данную регрессию на значимость и адекватность. Результаты анализа для оценки значимости и адекватности уравнения регрессии представлены в табл. 3.

 

Таблица 3

Результаты анализа для оценки значимости и адекватности уравнения регрессии при точении

Источник изменчивости	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	F-отношение
Сумма			–	–
Регрессия		1548,3783	1548,3783	25,964
Остаток		1371,6217	59,63573	–
Неадекватность		1051,6217	350,54057	21,91
Чистая ошибка				–

 

Суммы квадратов в табл. 3 вычисляются по следующим уравнениям:

= 8050 + 4546 + 2056 + 8080 + 12588 –

– (200 + 150 + 100 + 200 + 250)²/25 = 2920;

=

= 39,1659(200 + 150 + 100 + 200 + 250) – 147,8035(0,07×200 +

+ 0,085×150 + 0,1×100 + 0,2×200 + 0,3×250) + 629,49468(0,07²×200 +

+ 0,085²×150 + 0,1²×100 + 0,2²×200 + 0,3²×250) – (200 + 150 + 100 +

+ 200 + 250)²/25 = 35249,3595 – 22429,1833 + 21128,202 – 32400 =

= 1548,3783;

 

= (8050 – 200²/5) + (4546 – 150²/5) +

+ (2056 – 100²/5) + (8080 – 200²/5) + (12588 – 250²/5) = 320.

 

Проверяем значимость уравнения регрессии на уровне значимости a=0,05.

 

F_рег = 25,964 > F_1-0,05[1:23]= 4,28.

 

Вывод: параболическая регрессия на уровне значимости a=0,05 значима.

Проверяем уравнение регрессии на адекватность.

 

,

F_ад = 21,91 < F_{1–0,05[3:20]} = 3,1.

 

Вывод: параболическая регрессия на уровне значимости a=0,05 не адекватна.

Следовательно, необходимо строить другие аппроксимирующие зависимости для данных выходных параметров.

Определяем коэффициент корреляции параболической регрессии R

= = 0,728.

 

На рис. 4 представлена эллиптическая регрессия, показывающая взаимосвязь зависимости параметра EFR от S_о.

 

Рис. 4. Эллиптическая регрессия процесса

 

4. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

 

 

Отчет должен содержать следующие пункты.

1. Задание на математическое моделирование (табл. 4).

2. Все расчеты по корреляционному и регрессионному анализу (п. 2.1 и 2.2; пример п.4).

3. Основные выводы по корреляционному и регрессионному анализу.

4. График регрессии рис. 4.

 

 

Таблица 4

Варианты заданий для проведения практической работы

Номер варианта	Y	Xi, мкм
	0,2	12, 14, 14, 11, 12
0,4	17, 15, 18, 16,15
0,6	22, 23, 21, 23, 21
0,8	15, 14, 12, 14, 15
1,0	9, 8, 9, 7, 5
	0,1	125, 132, 134, 138, 125
0,12	160, 162, 168, 158, 145
0,15	201, 198, 205, 195, 201
0,2	160, 175, 174, 168, 170
0,25	122, 124, 115, 119, 124
		56, 58, 54, 57, 56
	44, 41, 40, 38, 42
	24, 26, 24, 23, 24
	38, 45, 42, 41, 39
	62, 68, 64, 67, 64
	0,3	112, 117, 119, 115, 116
0,5	85, 84, 86, 84, 87
0,7	24, 25, 28, 24, 30
0,9	56, 54, 58, 54, 52
1,1	78, 81, 75, 84, 84
	0,07	202, 212, 208, 212, 204
0,12	185, 168, 178, 184, 170
0,15	142, 144, 138, 147, 140
0,2	168, 164, 164, 168, 164
0,25	202, 203, 201, 200, 203
		65, 66, 68, 64, 65
	80, 84, 84, 83, 82
	112, 109, 108, 107, 115
	91, 92, 88, 95, 84
	65, 68, 61, 62, 64

 

Окончание таблицы 4

		10,586; 12,351; 11,370; 13,919; 13,037;
	16,369; 18,134; 18,918; 15,781; 17,056;
	21,858; 24,897; 25,583; 24,309; 25,093
	9,410; 10,096; 11,272; 9,018; 12,350;
	15,291; 15,095; 14,507; 15,781; 16,957;

 

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

1. Вальков, В.М., Вершинин, В.Е. Автоматизированные системы управления технологическими процессами / В.М. Вальков, В.Е. Вершинин. – 3-е изд., перераб. и доп. – Л.: Политехника, 2001. – 269 с.

2. Дрейпер, Н., Смит, Г. Прикладной регрессионный анализ / Н. Дрейпер, Г. Смит. – М.: Статистика, 1973. – 392 с.

3. Джонсон, Н., Лион, Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке / Н. Джонсон, Ф. Лион. – М.: Мир, 1981. – 520 с.

4. Рыжов, Э.В., Горленко, О.А. Математические методы в технологических исследованиях / Э.В. Рыжов, О.А. Горленко. – Киев: Наук. думка, 1990. – 184 с.

5. Справочник по специальным функциям. – М.: Наука, 1979. – 831 с.

6. Суслов, А.Г., Горленко, О.А. Экспериментально-статис­тический метод обеспечения качества поверхности деталей машин: монография / А.Г. Суслов, О.А. Горленко. – М.: Машиностроение, 2003. – 302 с.

7. Хикс, Ч. Основные принципы планирования эксперимента / Ч. Хикс,. – М.: Мир, 1967. – 406 с.