Оптимизационные задачи для функций одного переменного
Примеры. 1) . Раньше это пример решался с помощьютождественного преобразования .
2)
Раньше этот пример решался сравнением степеней переменного в числителе и в знаменателе, когда мы выносили наибольшую степень из числителя и знаменателя, соответственно. Оптимизационные задачи для функций одного переменного Задача 1. Владелец грузового судна должен перевезти груз по реке из одного порта в другой. Расходы этого владельца складываются из расходов на содержание экипажа и из затрат на топливо. Выясним, какую скорость движения судна следует выбрать, если увеличение скорости ведет к большим тратам на топливо (расходы на топливо пропорциональны кубу скорости), а уменьшение скорости, а значит, увеличение времени пути приведет к большим тратам на питание команды. Р е ш е н и е. Мы ищем оптимальное значение величины скорости . Обозначим суточные расходы на топливо , а суточные расходы на питание команды . Пусть – расстояние, которое должна пройти баржа. Тогда время в пути равно . Следовательно, путевые расходы составляют . Нам нужно найти такое положительное значение , которое обеспечит минимум введенной функции. Используя доказанную теорему, приравняем нулю производную введенной функции: . Получим точку экстремума . То, что мы получили минимум, а не максимум, следует из поведения функции при значениях переменной , близких к 0 и к бесконечности: функция при таких значениях переменной стремится к положительной бесконечности. Следовательно, единственный экстремум этой функции может быть только минимумом. Таким образом, оптимальная скорость движения баржи по реке . Задача 2. У слесаря есть жестяной диск. Какой сектор следует вырезать из этого диска, чтобы из оставшейся части диска можно было свернуть воронку наибольшей вместимости? Р е ш е н и е. Очевидно, что сектор определяется углом при вершине. Обозначим этот угол . Известно, что объем конуса (воронки) равен, в соответствии с введенными обозначениями, . Выразим через радиус основания конуса , сравнив площадь оставшейся части диска и площадь боковой поверхности конуса. Площадь оставшейся части диска равна . Площадь боковой поверхности конуса равна . Из соотношения получим . Следовательно, . Вследствие громоздкости полученного выражения перейдем к новой переменной . Теперь . Найдем критическую точку этой функции на отрезке [0,1], именно она является точкой максимума, так как на концах отрезка функция обращается в нуль. Критической точкой является . Следовательно, угол при вершине сектора, который нужно вырезать, равен . Задачи для самостоятельного решения.
км. Под каким углом к железной дороге следует построить подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из в была наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны груза на расстояние 1 км составляет по подъездному пути руб., а по железной дороге руб. ( ) и город расположен на км севернее завода ?
Бревна какой наибольшей длины можно сплавлять по этой системе каналов?
поперечным сечением, поверхность которой равна , имеет наибольшую вместимость? В некоторых из предложенных задач присутствуют параметры. В том случае, когда исследуемая функция не содержит параметров, легко найти наибольшие и наименьшие значения с помощью графика. В настоящее время в связи с наличием пакетов компьютерных программ нет необходимости строить графики вручную. Так, пакет программ MAXIMA мгновенно рисует графики явно заданных функций с помощью команды plot2d. Например, при решении задачи 1 для самостоятельного решения следовало найти наибольшее значение функции . Поскольку , построим график функции на отрезке с помощью команды plot2d((120-2*h)*h,[h,0,60]), набрав эту команду и нажав Shift+Enter. Мы получим график вида
В соответствии с этим графиком максимальное значение функции достигается при .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (241)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |