Прямые второго порядка

Задачи

Векторы. Основные понятия.

1)Действия над векторами

1. Вычислить модуль вектора ={6; 3; -2}.

2. Даны точки A(3; -1; 2), B(-1; 2; 1). Найти координаты векторов и

3. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора ={3; -1; 4}, если его начало совпадает с точкой М(1; 2; -3)

 

2)Проекция вектора на оси

1. Дан модуль вектора =2 и углы =45⁰, =60⁰, =120⁰. Вычислить проекции вектора на координатные оси

2. Вычислить направляющие косинусы вектора ={12; -15; -16}

3. Даны два вектора ={3; -2; 6}, ={-2; 1; 0}. Определить проекции на координатные оси следующих векторов:

А) б) в) г) д)

 

3)Разложение вектора по координатам

1. Три силы , , , приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей ,если известно, что =2Н, =10Н, =11Н

2. На плоскости даны три вектора ={3; -2}, ={-2; 1}, ={7; -4}. Определить разложение каждого из этих трех векторов, принимая в качестве базиса два других

3. На плоскости даны два вектора ={2; -3}, ={1; 2}. Найи разложение вектора ={9; 4} по базису ,

4. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:

А) =45⁰, =60⁰, =120

Б) =45⁰, =135⁰, =60⁰

В) =90⁰, =150⁰, =60⁰

4)Скалярное произведение векторов

1. Даны =13, =19 и =24. Вычислить

2. Векторы и взаимно перпендикулярны, причем =5, =12. Определить и

3. Векторы и образуют угол =120⁰, причем =3 и =5. Определить и

4. Даны векторы , , , удовлетворяющие условию . Зная, что =3, =1, =4, вычислить

5. Векторы и образуют угол ; зная, что , , вычислить угол между векторами и

6. Векторы и образуют угол , зная, что =3, =4, вычислить

А) б) в) г) д)

 

5)Векторное произведение координат

1. Векторы и образуют угол . Зная, что =6 и =5, вычислить

2. Векторы и взаимно перпендикулярные. Зная, что : =3, =4, вычислить: а) , б)

3. Сила ={2; 2; 9} приложена к точке А(4; 2; -3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С(2; 4; 0)

6)Выражение скалярного произведения через координаты векторов

1. Вычислить косинус угла, образованного векторами а={2; -4; 4} и б={-3; 2; -6}

2. Даны векторы ={4; -2; -4}, ={6; -3; 2}. Вычислить:

А) б) в) г) д) е)

7)Установление коллинеарности векторов

1. Проверить коллинеарность векторов ={2; -1; 3} и ={-6; 3; -9}

2. Определить, при каких значениях , векторы и коллинеарны.

3. Даны точки A(-1; 5; -10}, B(5; -7; 8), C(2; 2; -7), D(5; -4; 2). Проверить, что векторы и коллинеарны

8)Нахождение линейной скорости вращения

1. Векторы , , , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что , , , вычислить

2. Установить, компланарны ли векторы , , , если:

а) ={2; 3; -1}, ={1; -1; 3}, ={1; 9; -11}

б) ={3; -2; 1}, ={2; 1; 2}, ={3; -1; -2};

в) ={2; -1; 2}, ={1; 2; -3}, ={3; -4; 7}

1. Матрицы

1)Произведение матрицы на матрицу

1) Решить f=A*A*A-3A*A+1 если А

2) Умножить матрицу А на В

2)Определитель матрицы

1. Определить, при каких значениях a и b система уравнений : 1). Имеет единственно решение, 2). Не имеет решений, 3). Имеет бесконечно много решений.

2. Вычислить определители третьего порядка:

1) 2) 3)

3. Найти все решения каждой из следующих систем уравнений

1) 2) 3)

4. Найти единственное решение систем:

1) 2)

 

3)Вычисление обратной матрицы

1) Решить АХ=В, если 1. 2.

4)Метод Гауса

1) Решить системы методом Гауса

2a+	3b+	14c+	13d=0
	2d+	8c+	2d=0
-4a+	2d+	4c-	18d=0
-2a+	b+	2c-	9d=0

 

2)

-5a+	5b+		d=0
3a+	2d+	c-	2d=0
a+	d-	c+	d=0
a+		c	=0

 

 

1. Аналитическая геометрия на плоскости

1)Преобразования системы координат

1. Начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку O’(3; -4). Координаты точек А(1; 3), B(-3; 0), C(-1; 4) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

2. Написать формулы преобразований координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку: а) А(3; 4) б) B(-2; 1) в) C(-3; 5)

2)Преобразование системы координат с помощью поворота

1) Написать формулы преобразований координат, если координатные оси повернуты на один из следующих углов: а) 60 б) -45 в) 90 г) -90 д)180

2) Координатные оси повернуты на угол =60⁰. Координаты точек А( ; -4), B( ; 0), C(0; ) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе.

3)Общее равнение прямой

1) Найти точку пересечения двух прямых ,

2) Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями , , . Определить координаты его вершин

3) Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy: а) k=3, b=0; б) k=-2, b=-5; в) k=0, b=-2;

4)Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору.

1) Даны вершины треугольника M₁(2; 1), M₂(-1; -1), M₃(3; 2). Составить уравнения его высот.

2) Даны вершины треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

3) На прямой найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы наименьшей.

4) Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника

Прямые второго порядка

1)Эллипс

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: а) его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13 ; б) его большая ось равна 20, а эксцентриситет e=3/5 Ж; в) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8.

2. Установить, что следующее уравнение определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

3. Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.

4. Точка M₁(3; -1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой . Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет e= .

 

2)Гипербола

1. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: а) расстояние между фокусами 2c=10 и ось 2b=8; б) расстояние между директрисами равно 228/13 и расстояние между фокусами 2c=26; в) ось 2a=16 и эксцентриситет e=5/4

2. Дана гипербола . Найти: полуоси а и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения директрис

3. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны точки M₁(6; -1), M₂(-8; ) гиперболы

4. Привести ур-е к каноническому виду; определить тип; установить, какой геометрический образ определяет; изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы; оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решению, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:

1) 2)

3)Парабола

1. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: а) парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=3; б) парабола расположена в левой полуплоскости симетрично относительно оси Ох и ее параметр р=0,5 ; в) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично оси Оу и ее параметр р=3.

2. Даны вершина параболы А(6; -3) и уравнение ее директрисы . Найти фокус F этой параболы.

3. Даны вершина параболы А(-2; -1) и уравнение е директрисы . Составить уравнение этой параболы.

4. Привести ур-е к каноническому виду; определить тип; установить, какой геометрический образ определяет; изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы; оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решению, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:

1)

2)