Геометрические вероятности

 

Дан отрезок:					L
			l

 

L - длина отрезка

l - часть отрезка

 

На отрезок L наугад наносится точка.

Вероятность попадания в отрезок l :

 

P =	l
L

 

 

Дана плоская фигура:

 

		g
					G - площадь всей фигуры
					g - площадь части фигуры
			G

 

P =	g
G

 

 

Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру.

 

P =	v
V

 

 

где:	V- объем всей фигуры
	v- объем части фигуры

 

Пример. На отрезке L=16 см помещен отрезок l=4 см. Найти вероятность того , что наугад поставленная на отрезок L точка попадет в отрезок l.

 

Решение.

Искомая вероятность равна

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ

1.	На отрезке L = 20 см помещен отрезок l= 10 см. Найти вероятность того, что наугад поставленная на отрезок L точка попадет в отрезок l.
2.	В круге радиусом R есть круг радиуса r. Найти вероятность того, что наугад брошенная в большой круг точка попадет в малый круг.
3.	Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиусом r < a. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.
4.	На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной a наудачу брошена монета радиусом r < a/2. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из сторон квадрата:
5.	На плоскости начерчены две концентрические окружности с радиусами 5 см и 10 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная в большой круг, попадет в кольцо, образованное двумя окружностями.

 

 

 

КОСВЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Основные понятия

 

№№ пп	События	Сущность Событий	Обозначения
1.	Несовместные	Одно из двух	(А+В)
2.	Противоположные		(А+В)
3.	Совместные:
	- независимые	- совместное наступление	(АВ)
		- хотя бы одно из 2-х	А+В

 

	- зависимые	- совместное наступление	(АВ)
4.	Условная вероятность	вероятность события А при условии события x	P(A/x)

 

 

Основные теоремы теории вероятностей

 

Название теоремы	Трактовка теоремы	Обозначения
Теорема сложения вероятностей не-совместных собы-тий	Вероятность наступления одного из 2-х несов-местных событий равна сумме вероятностей этих событий.	P(A+B) = P(A) + P(B)
Теорема умножения вероятностей	Вероятность совместного наступления 2-х независимых событий равна произведению их вероятностей	P(AB) = P(A) * P(B

 

 

Название теоремы	Трактовка теоремы	Обозначения
Теорема сложения вероятностей сов-местных событий	Вероятность наступления хотя бы одного из 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.	P(A+B)=P(A)+P(B)-Р(АВ)   Графически это можно пояснить так:

 

					100%
	Р(А)
		Р(В)
	Часть вероятности наступления каждого события совпадает с вероятностью их совместного наступления.

 

Примеры:

1. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть оков?

Решение

Введем обозначения событий”:

А - ни на одной из выпавших граней не появится 6 очков;

А_i – на выпавшей грани i-той кости (i = 1, 2, 3, … , n) не появится 6 очков.

 

Интересующее нас событие А состоит в совмещении событий А₁, А₂, А₃, … А_n, т.е. А=А₁ А₂, … А_n.

 

Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число очков, не равное шести, равна Р(А_i) = 5/6

События А_i независимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения:

Р(А) = Р(А₁ А₁, … А_n) = Р(А₁) Р(А₂) … Р(А_n) = (5/6)ⁿ

По условию (5/6)ⁿ < 0,3. Следовательно, n ln(5/6) < ln 0,3.

Отсюда, учитывая, что ln(5/6) < 0, найдем: n>6,6.

Т.о. искомое число игральных костей n ³7.

2. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение

Введем обозначения событий”:

А - первый взятый учебник имеет переплет;

В – второй учебник имеет переплет.

 

Вероятность того, что первый учебник имеет переплет:

Р(А) = 3/6 = 1/2

Вероятность того, что второй учебник имеет переплет при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т.е. условная вероятность события В:

Р_А(В) = 2/5

Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей равна:

Р(АВ) = Р(А) Р_А(В) = 1/2 ^. 2/5 = 0,2.

3. Разрыв электрической цепи происходит в том случае , когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того , что не будет разрыва цепи , если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,3 , 0,4 и 0,6. Как изменится искомая вероятность , если первый элемент не выходит из строя?

 

Решение.

 

Искомая вероятность равна вероятности того , что не выйдут из строя все три элемента. Пусть событие означает , что k-й элемент не выйдет из строя (k=1,2,3). Тогда p=P( . Так как события независимы , то

 

 

Если первый элемент не выходит из строя , то