Правила построения и обработки графиков

В экспериментальной физике результаты измерений важно представить в наглядной форме, удобной для использования и обработки. Обычно для этого составляют таблицы, графики и уравнения. Представление данных в виде таблиц облегчает сравнение различных значений, поэтому данные опыта, как правило, записывают в таблицу, которая позволяет также вести и обработку результатов измерений. При построении графика функциональная зависимость становится явной, а результаты опыта наглядными. Чаще всего график представляет зависимость между двумя переменными. При его построении необходимо пользоваться определенными правилами.

График выполняется на миллиметровой бумаге, на которую наносятся координатные оси. Для независимой переменной всегда используется ось абсцисс. На оси наносится масштаб, неудачный выбор которого - одна из наиболее распространенных ошибок, зачастую обесценивающая график.. Масштаб наносится так, чтобы расстояние между делениями составляло 1, 2, 5 единиц ( допустимы 2,5 и 4 ). Число делений с цифрами на каждой оси составляет обычно от 4 до 10. В конце оси указывается откладываемая величина и единицы ее измерения. Обычно туда же выносится и порядок масштаба ( 10 , где n - целое число ). Масштаб нужно выбирать так, чтобы кривая заняла весь лист, а погрешность измерения соответствовала одному-двум мелким делениям графика. При этом начало отсчета не обязательно начинать с нуля, иногда удобнее выбирать округленное число, отличное от нуля, и таким образом увеличить масштаб, но погрешность при этом по-прежнему должна составлять одно-два мелких деления. Для обработки результатов удобно, чтобы кривая была близка к прямой, наклоненной под углом 45^о к оси абсцисс. Для этого на графике откладывается не сама величина, а ее функция (логарифм, обратная величина и т.д.) так, чтобы полученный график был линейным.

Точки на график нужно наносить точно и тщательно, обводя их кружком или каким-нибудь другим знаком (рис. 3). Если можно определить доверительный интервал для данного измерения или систематическую погрешность, то эти величины откладываются по обе стороны от точки (рис. 4) так, чтобы точка оказалась в центре креста, образованного доверительными интервалами или систематическими погрешностями.

- 43 -

 

По нанесенным на график точкам проводится плавная кривая. При этом следует руководствоваться следующими правилами, вытекающими из метода наименьших квадратов.

1. Чем больше изгибов и неровностей имеет кривая, тем она менее вероятна.

 

- 44 -

 

1. Сумма отрезков отклонений точек от кривой в одну сторону должна быть равна сумме отклонений точек от этой же кривой в другую сторону.

2. По возможности не должно быть очень больших отклонений точек от кривой, лучше иметь два-три небольших отклонения, чем одно большое.

Исключение составляет градуировочный график (рис. 5), на котором точки соединяются последовательно прямыми линиями, так как при этом мы считаем значения величин точными, а кривая служит для отыскания промежуточных значений линейной интерполяцией.

 

 

Рис. 5. График градуировки амперметра

 

Окончив построение графика, пишут подрисуночную надпись, которая должна содержать точное и краткое описание того, что показывает график.

Обработка результатов сводится к выяснению аналитической зависимости между величинами. Если эта зависимость нелинейная, то обработка будет сложной. Остановимся на случае, когда уравнение имеет вид прямой линии: При этом угловой коэффициент находится как отношение приращения функции к приращению аргумента, взятому по выбранной прямой на возможно большем интервале изменения аргумента:

 

Оценим примерно погрешность определения коэффициента k. Если известны доверительные интервалы, то через их концы проводятся две вспомогательные прямые, параллельные ранее начерчен-

 

- 45 -

ной. Крайние точки параллельных прямых соединяются крест-накрест и находятся угловые коэффициенты этих прямых k₁ и k₂ . Тогда погрешность коэффициента k будет

.

Аналогично определяется погрешность и в том случае, когда доверительные интервалы неизвестны. Вспомогательные прямые при этом проводятся через наиболее удаленные точки ( рис. 3).

Более строго можно вычислить угловой коэффициент k и свободный член, если воспользоваться методом наименьших квадратов, который заключается в нахождении таких значений k и b , при которых сумма квадратов расстояний от прямой до экспериментальных точек с координатами x_i и y_i ( i = 1,2,.......n ) была бы наименьшей. Это эквивалентно минимуму суммы

Условия минимальности суммы

 

дают два уравнения для определения k и b :

 

.

Если ввести обозначения средних значений

 

и ,

 

то систему уравнений можно записать в виде

 

 

- 46 -

Этот метод позволяет найти и погрешность определения k и b .

Однако способ определения погрешностей весьма сложен, поэтому приведем только результаты расчетов.

Средняя квадратическая погрешность определения углового коэффициента k равна

Средняя квадратическая погрешность определения свободного члена b равна

или

.

В качестве примера рассмотрим вычисление температурного коэффициента сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону:

.

Свободный член определяет сопротивление R_o при температуре 0^оС, а угловой коэффициент - произведение температурного коэффициента на сопротивление R_o .

 

- 47 -

 

Результаты расчета приведены в табл.4, из которой нетрудно найти

 

и

R_o = 1,575 - 0,00245^.157,0 = 1,190 Ом, отсюда =

=0,00206 град^-1 .

Важно вычислить погрешность в определении . Так как , то .

Пользуясь таблицей, находим

 

,

 

По этим данным нетрудно определить доверительные интервалы для исследуемых величин, умножая найденные среднеквадратичные отклонения на коэффициенты Стьюдента.

 

Автор выражает искреннюю благодарность сотрудникам кафедры магнетизма, ИФПМ, вычислительного центра, лаборатории “Орбита” за бескорыстную помощь при наборе этого пособия.

Работа выполнена при поддержке группы CRDF.

 

- 48 -

 

 

Таблица 4

 

Расчет температурного коэффициента сопротивления по методу наименьших квадратов

 

 

№ п/п	toC	Rt,Ом	t - tср	Rt - Rср	(t - tср).(Rt-Rср)
		1,242	-134	-0,359	+48,2
		1,326	-98	-0,249	+14,4
		1,386	-73	-0,189	+13,8
		1,417	-61	-0,158	+9,4
		1,512	-37	-0,062	+2,3
		1,520	-24	+0,015	-0,1
		1,664	+29	+0,089	+2,5
		1,712	+55	+0,137	+7,5
		1,784	+87	+0,209	+18,2
		1,823	+133	+0,248	+28,0
		1,864	+132	+0,289	+38,1
S		17,330			192,3
S ¤ N	157,0	1,575			-

 

 

Продолжение табл. 4

 

(t - tcр)2	Ro .a.t	Ro+Roat	Rt-(Ro+Roat)	[Rt-(Ro+Roat)]2.104
	0,066	1,246	0,004	0,16
	0,145	1,335	0,009	0,81
	0,201	1,391	0,005	0,25
	0,230	1,420	0,003	0,09
	0,284	1,474	0,028	7,84
	0,376	1,566	0,024	5,76
	0,456	1,646	0,018	3,24
	0,521	1,711	0,001	0,01
	0,602	1,792	0,008	0,64
	0,662	1,852	0,029	8,41
	0,710	1,900	0,036	12,96
	-	-	-	40,17
-	-	-	-	-

 

 

- 49 -

С о д е р ж а н и е

стр.

Список рекомендуемой литературы....................................................3

Основные положения рабочей программы.........................................4

Необходимость, сущность и задача измерений..................................5

Характеристика измерений...................................................................5

Абсолютная и относительная погрешности измерений.....................6

Источники погрешностей измерений....................................................6

К какой точности стремиться при измерениях.....................................7

Классификация погрешностей..............................................................8

Анализ погрешностей и пути их устранения или учета.......................8

Классы точности средств измерений..................................................10

Сложение неисключенных систематических погрешностей..............13

Выборка и ее характеристики...............................................................14

Интервальные оценки параметров нормального закона

распределения......................................................................................16

Проверка выскакивающих результатов на промах............................18

Число измерений, необходимое для получения заданной

точности.................................................................................................20

Правила представления результатов измерений..............................21

Определение границ погрешности результата измерения

(правила сложения систематической и случайной

составляющих погрешности)................................................................22

Вычисление погрешности косвенных измерений...............................23

Порядок обработки результатов измерений.......................................25

Пример, иллюстрирующий правила проведения измерений и

обработки их результатов по ГОСТ 8.207-76.....................................26

Измерение диаметра и обработка результатов этого

измерения................................................................................29

Определение необходимого числа измерений для получения заданного доверительного интервала с заданной доверительной вероятностью............................34

Таблица 1.Коэффициенты Стьюдента.................................................41

Таблица 2.Оценка выскакивающих измерений на промах.................42

Таблица 3.Необходимое число измерений для получения

случайной погрешности e с надежностью a ......................................42

Правила построения и обработки графиков........................................43

Таблица 4.Расчет температурного коэффициента

сопротивления по методу наименьших квадратов ............................49

Содержание............................................................................................50

 

 

- 50 -