Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида

где x₁, x₂, …, x_n – неизвестные переменные, a_{i j} , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b₁, b₂, …, b_n - свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x₁, x₂, …, x_n при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B, где

- основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных,

- матрица – столбец свободных членов, а

- матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n, матрица

становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество .

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

1. Определитель квадратной матрицы

равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

1. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:
   

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x₁. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А_{1 1} , обе части второго уравнения – на А_{2 1} , и так далее, обе части n-ого уравнения – на А_{n 1} (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А):

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n, и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем

и предыдущее равенство примет вид

откуда

Аналогично находим x₂. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А:

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n и применяем свойства определителя:

Откуда
.

Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера .

Пример.

Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Решение.

Основная матрица системы имеет вид

.

Вычислим ее определитель по формуле

:

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители и . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель

.

Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем

.

Вычисляем эти определители:

Находим неизвестные переменные x₁ и x₂ по формулам

:

Выполним проверку. Подставим полученные значения x₁ и x₂ в исходную систему уравнений:

Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.