ДИФРАКЦИЯ ВОЛН НА ТРЕХМЕРНЫХ РЕШЕТКАХ

Из опытов по дифракции рентгеновских лучей на кристаллах следовало, что кристаллы можно рассматривать как пространственные решетки с периодом того же порядка что и длина волны рентгеновского излучения и для анализа экспериментальных данных использовать общепринятую теорию дифракции. В качестве примера анализа экспериментальных результатов по дифракции на трёхмерных решётках рассмотрим рассеяние рентгеновских лучей на кристаллах.

Пусть на одномерную цепочку атомов падает пучок параллельных рентгеновских лучей. Попадая в периодически изменяющееся поле электромагнитной волны

E(t)=E_m cos(wt-kx),

электроны атомов начинают совершать вынужденные колебания, так как на них действует периодически меняющаяся вынуждающая сила

.

Под действием этой силы электроны движутся с переменным ускорением

и вследствие этого становятся источниками переменного электромагнитного поля. В соответствии с законами электродинамики, это приводит к вынужденному излучению электромагнитных волн. Таким образом, каждый атом, попавший в поле рентгеновского излучения, сам становится источником вторичных волн, частота которых совпадает с частотой возбуждающего излучения. Для простоты будем считать вторичные волны сферическими. Это предположение, конечно, не позволит описать результаты эксперимента во всех деталях. Однако наиболее яркие черты явления охватываются достаточно верно.

Приходя в точку наблюдения, вторичные волны интерферируют. Длина пути от источника излучения до атома цепочки и от атома до точки наблюдения зависит от положения атома. Поэтому разность хода D для интерферирующих лучей будет зависеть как от угла между падающим пучком и цепочкой атомов ( ), так и от угла между цепочкой атомов и направлением на точку наблюдения ( ) ( рис.7). Как видно из рисунка

,

где a - модуль базисного вектора.

 

 

Известно, что максимум интерференционной картины будет наблюдаться, когда разность хода между лучами составит целое число длин волн:

, где n - любое целое число.

Если рассмотреть теперь трехмерную решетку атомов, то для неё должны одновременно выполняться условия максимума дифракционной картины в направлении каждого из базисных векторов:

,

, (1)

.

Будем характеризовать направление падающего пучка единичным вектором , а направление наблюдения - единичным вектором . Поскольку =1 и =1, то для углов , , , , , , характеризующих направление падающего луча и направление, в котором проводится наблюдение, справедливы соотношения (рис.8):

, (2).

 

Тогда система уравнений (1) оказывается разрешимой относительно углов , , только при определённых значениях длины волны . Условия (1) наблюдения максимума дифракционной картины называют условиями Лауэ.

Разделим каждое из трех уравнений системы (1) на длину соответствующего базисного вектора, возведем в квадрат и сложим. С учетом уравнений (2), получим:

(3).

Косинус угла между двумя прямыми может быть записан через косинусы углов между прямыми и осями координат. Обозначим угол между падающим пучком и направлением наблюдения через и перемножим скалярно единичные векторы, задающие направления пучков, выраженные через базис:

.

С учётом того, что и ,

получим:

.

Тогда уравнение (3) можно переписать в виде:

или

. (4)

Для кубической решетки, когда , равенство упростится:

.

Русский ученый Ю.В.Вульф и английские физики У.Г. и У.Л.Брэгги независимо друг от друга показали, что расчёт дифракционной картины от кристаллической решётки можно осуществить и более простым способом. Они предложили считать, что интерферируют лучи, отраженные от параллельных плоскостей, проведенных через узлы кристаллической решётки. В этом случае интерференционная картина рассчитывается подобно тому, как это делается для тонких плёнок. Разность хода между лучами, пришедшими в точку наблюдения от соседних плоскостей при наблюдении под тем же углом к плоскостям, что и угол между плоскостями и падающим пучком, может быть записана (рис.9): .

Следовательно, максимум дифракционной картины будет наблюдаться под таким углом скольжения (угол Брэгга), который удовлетворяет условиям Вульфа-Брэгга

.

Наблюдения в этом случае также проводятся под углом . Таким образом, угол между направлениями падающего луча и направлением, в котором наблюдается максимум дифракционной картины, будет равен двойному брэгговскому углу.

Расчет по формулам Лауэ дает те же самые направления. Сравнивая условия Вульфа-Брэгга с выведенным из условий Лауэ соотношением (4), можно получить связь межплоскостных расстояний с параметрами решётки a, b, c и индексами плоскостей (hkl):

В случае кубической решётки a=b=c и тогда

 

ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА

Условия наблюдения дифракционных максимумов могут быть записаны в виде векторного уравнения - основного интерференционного уравнения. Это уравнение связывает между собой, с одной стороны, единичные вектора и , определяющие направления падающего луча, и направление наблюдения и, с другой стороны, вектор обратной решетки.

Обратную решетку вводят для облегчения расчёта дифракционной картины. Её базисные векторы , , задают так, чтобы они были ортогональны разноименным векторам прямой решетки и имели длину, обратную одноименным векторам. Это означает что:

; ; ;

.

Такое определение обратной решетки позволяет, с одной стороны, легко построить ее, если известны базисные вектора прямой решетки (и, соответственно, наоборот), а, с другой стороны, придают ей ценные свойства, которые легко можно доказать, пользуясь правилами векторной алгебры. Для изложения важно то, что плоскости (hkl) прямой решетки в обратной решетке соответствует узел с координатами h, k, l: [[hkl]]^* и что модуль вектора обратной решетки равен обратной величине расстояния d_hkl между плоскостями {hkl} прямой решётки, т.е.

Используя понятие обратной решетки, векторное условие наблюдения максимума дифракционной картины можно представить в виде уравнения (основного интерференционного уравнения):

.

В справедливости приведённого уравнения нетрудно убедиться, сравнив его с системой уравнений (1). Легко увидеть, что и условия Лауэ и уравнение Вульфа-Брэгга содержатся в этом уравнении. Например, умножив скалярно основное интерференционное уравнение на базисный вектор прямой решетки , получим условие Лауэ для цепочки атомов в направлении вектора :

®

.

Геометрический способ решения основного интерференционного уравнения известен как построение Эвальда. Построение сводится к тому, что в пространстве обратной решетки строят сферу радиуса (сферу Эвальда). При этом направление падающего луча должно совпадать с её диаметром, а сфера должна пересекаться с направлением падающего пучка в узле обратной решетки. Узлы обратной решетки, оказавшиеся на сфере, с одной стороны, связаны между собой векторами обратной решетки, а, с другой стороны, являются разностью векторов и . Таким образом, вектор по построению задаёт направление, в котором будет наблюдаться максимум дифрак­ционной картины (рис.10).

 

ДЛИНА ВОЛНЫ ЭЛЕКТРОНА

Дифракция на трехмерных пространственных решетках естественного происхождения - кристаллах была использована для определения длин волн, связанных с движущимися материальными частицами - электронами (Дэвиссон и Джермер 1927 г., Томсон 1928 г.), нейтронами и даже атомами (Штерн 1929 г., Демпстер 1930 г., Сугиура 1931 г.).

Ускоренный разностью потенциалов U электрон приобретает (в соответствии с законом сохранения энергии) кинетическую энергию

.

Используя это соотношение, найдем импульс электрона

.

Согласно гипотезе де Бройля, частице с таким импульсом должна соответствовать длина волны

.

Для того чтобы наблюдать дифракцию необходимо, чтобы длина волны была меньше периода решетки. Этого можно добиться соответствующим выбором ускоряющего напряжения.

Дэвиссон и Джермер исследовали отражение электронов от плоскости (111) монокристалла никеля. Отраженные лучи улавливались цилиндрическим электродом, соединенным с гальванометром (рис.11).

Интенсивность отраженного пучка оценивалась по силе тока, текущего через гальванометр. Варьировались скорость электронов и угол j, под которым проводилось наблюдение. На рис.12 в полярных координатах показана измеренная гальванометром зависимость силы тока от угла j при фиксированном ускоряющем напряжении. Угол, под которым наблюдался максимум тока, позволял по известному для никеля межплоскостному расстоянию d₁₁₁ вычислить длину волны электронов. Эксперимент полностью подтвердил гипотезу де Бройля.

В опытах Дэвиссона и Джермера (как и в опытах Томсона, описанных ниже) интенсивность электронных пучков была достаточно большой, и через кристалл одновременно проходило большое число электронов. В опытах Л.Б.Бибермана, Н.Г.Сушкова и В.А.Фабриканта (1949 г.) интенсивность электронного пучка была низкой, и электроны проходили через кристалл заведомо поодиночке. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями электронов примерно в 30000 раз превосходил время их пролета через прибор. При достаточной экспозиции была получена дифракционная картина, ничем не отличающаяся от той, которая наблюдалась при обычных интенсивностях пучка. Таким образом, было доказано, что волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности.

Схема опыта Томсона получила широкое распространение и используется в современных электронографах. В электронографе сфокусированный электронный пучок просвечивает тонкий слой материала (режим съёмки "на просвет") или направляется на образец под малым углом скольжения (режим "на отражение"). Результат дифракции электронов регистрируется в этом случае не гальванометром, а с помощью люминесцентного экрана или фотопластинки, что позволяет наблюдать сразу всю дифракционную картину. Полученная таким образом электронограмма содержит информацию о симметрии расположения атомов в образце, индексах кристаллических плоскостей и межплоскостных расстояниях. Относительная интенсивность дифракционных максимумов несет в себе информацию о заполнении тех или иных плоскостей атомами. Практически съёмка электронограмм осуществляется при таких ускоряющих напряжениях, которые обеспечивают соотношение между длиной волны и межплоскостными расстояниями:

,

.

Радиус сферы Эвальда в этом случае значительно превышает характерную величину модулей векторов обратной решетки

и сфера Эвальда вырождается в плоскость, рассекающую обратную решетку. Таким образом, электронограмма фактически является фотографией сечения обратной решетки. Каждая точка электронограммы соответствует плоскости в кристалле.

Принимая во внимание то, что , где r – расстояние от пятна, оставленного падающим лучом на экране, до интерференционного максимума, L – расстояние от образца до экрана (рис.13), можно записать условия максимума дифракции в упрощенном виде:

.

Откуда

,

где r_i – расстояние от пятна, оставленного падающим пучком до i-го интерференционного максимума, C - так называемая постоянная электронографа.

В постоянную электронографа оказываются собранными параметры, измерение которых с высокой точностью затруднительно. Напротив, нанося на исследуемый образец известный материал с хорошо воспроизводимыми межплоскостными расстояниями, получают на электронограмме отметки, задающие масштаб для определения величин r_i . То есть, сначала по известным значениям d_hkl рассчитывают постоянную электронографа, а затем - межплоскостные расстояния исследуемого вещества.

а б с

На рис.14 представлены примеры электронограмм. Если образец состоит из мелких кристаллов (кристаллитов), разориентированных относительно друг друга, то точки на электронограмме превращаются в дуги, при полном отсутствии преимущественной ориентации - в окружности, соответствующие вращению обратной решетки вокруг направления падающего пучка.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

Название работы: Определение длины волны электрона

Цель работы: Определить длину волны электрона и получить зависимость длины волны электрона от ускоряющего напряжения. Проверить справедливость соотношения де Бройля.

 

Рабочие формулы:

C=d_hkl×r_n,

где C - постоянная электронографа, d_hkl - расстояние между плоскостями с индексами hkl, r_n - расстояние между пятном, оставленным падающим пучком и дифракционным максимумом номер n (радиус n-го кольца).

,

где L - расстояние от образца до экрана, l - длина волны электрона,

h = 6,62×10^-34 Дж×с - постоянная Планка, m = 9,1×10^{-31 кг - масса электрона,} q = 1,6×10^-19 Кл – заряд электрона, U – ускоряющее напряжение,

A - отрезок, осекаемый экспериментальной кривой на оси ординат.

, .

 

Порядок выполнения работы:

1. Получить электронограммы эталонного образца, снятые при разных ускоряющих напряжениях.

2. Измерить расстояния между пятном, оставленным падающим пучком и максимумами дифракционной картины.

3. Рассчитать постоянные электронографа для разных ускоряющих напряжений.

4. В двойном логарифмическом масштабе построить график зависимости постоянной электронографа от величины ускоряющего напряжения; , .

5. Определить среднее расстояние между образцом и экраном в момент съёмки электронограмм.

6. Рассчитать длины волн электрона при различных ускоряющих напряжениях.

7. Построить зависимость длины волны электрона от величины ускоряющего напряжения.

8. Пользуясь соотношением де Бройля, построить расчетную кривую.

9. Сопоставить экспериментальные результаты с расчетом.

10.Результаты работы занести в таблицы. (Обратите внимание на единицы измерения).

 

Образец: …. (указывается химическая формула вещества).

 

Ускоряющее напряжение: U₁=…

N максимума	rn, мм	dhkl, Å	hkl	Cn=rn×dhkl, мм
. . n

 

Ускоряющее напряжение: U₂=…

N максимума	rn, мм	dhkl, Å	hkl	Cn=rn×dhkl, мм
. . n

 

Таблицы строят для всех значений ускоряющих напряжений U_i. Затем заполняют последнюю таблицу, в которой и указывают окончательные результаты.

 

U, В	lgU	Ci, м2	lgCi	A	10A	L, м	l, м
U1 U2 … … Ui

Приложить к протоколу построенные графики.

 

Выводы:…

ВОПРОСЫ К ОТЧЕТУ ПО РАБОТЕ

 

1. В чем состоит концепция корпускулярно-волнового дуа-

лизма?

2. Какими соотношениями связаны между собой параметры, характеризующие корпускулярные и волновые свойства микрочастиц?

3. Какие экспериментальные доказательства справедливости гипотезы де Бройля Вам известны?

4. Почему кристаллы могут быть использованы для наблюдения волновых свойств микрочастиц?

5. Какие основные операции симметрии Вам известны и как проявляется симметрия в кристаллах?

6. Какие особенности имеет дифракция на трехмерных периодических структурах?

7. Как проявляется дифракция электронов на кристаллах?

8. Каким образом можно определить длину волны электрона?

9. Выведите рабочие формулы.

10. Какой вывод Вы сделали в результате выполнения работы и почему?

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2

(учебно-исследовательская).

Название работы: Идентификация вещества и определение постоянной решётки поликристалла кубической сингонии по электронограмме.

Цель работы: Познакомиться с примером практического использования волновых свойств электрона, идентифицировать вещество кубической сингонии и определить для него постоянную решётки.

 

Рабочие формулы и вспомогательные материалы:

,

где d_hkl - расстояние между плоскостями с индексами hkl, C - постоянная электронографа, r_n - радиус кольца номер n на электронограмме поликристаллического образца.

,

где a - постоянная решётки кристалла кубической сингонии, h, k, l - индексы плоскостей с межплоскостным расстоянием d_hkl.

В качестве вспомогательных материалов используются выписки из таблиц межплоскостных расстояний для кристаллов кубической сингонии (приложение).

Указания по методике исследования. Анализ результатов дифракции электронов на веществе позволяет сделать выводы о структуре вещества. Так как каждое вещество имеет вполне определённую микроструктуру, сведения о которой содержатся в соответствующих справочниках и стандартах, полученная в результате анализа электронограмм информация может быть использована, например, для идентификации образцов, для изучения факторов, влияющих на структуру и так далее. В частности, на постоянную решётки могут оказывать влияние механические напряжения, загрязнения материала атомами примесей, некоторые другие причины.

Отклонение соотношения между интенсивностями разных интерференционных максимумов от табличных значений также несут информацию об особенностях микроструктуры исследуемого образца. По электронограмме легко может быть установлено является ли образец монокристаллическим, поликристаллическим, текстурированным.

В качестве первого шага при расшифровке электронограммы предлагается отметить и учесть все выявленные особенности. Затем составить план работы и обсудить его с преподавателем. Наконец, необходимо определить межплоскостные расстояния, путем сравнения с табличными данными идентифицировать вещество, определить индексы кристаллических плоскостей и рассчитать постоянную решётки.

 

Содержание отчета по результатам исследования.

Отчет должен содержать:

- описание разработанного плана расшифровки электронограммы,

- формулы и выписки из таблиц, использованные в работе,

- полученные значения межплоскостных расстояний, индексов плоскостей, постоянной решетки,

- рисунок элементарной ячейки с указанием установленных плоскостей,

- выводы.

 

ВОПРОСЫ К ОТЧЕТУ ПО РАБОТЕ

Отчет проводится по вопросам лабораторной работы 1 и, дополнительно, по вопросам:

1. Координаты атомов и плоскостей в кристаллах. Индексы Миллера.

2. Решётки Бравэ в кубической сингонии.

3. Использование обратной решётки и построения Эвальда для описания дифракции электронов на кристаллах.

4. Вывод рабочих формул.

5. Чем отличаются друг от друга электронограммы монокристаллических, поликристаллических образцов и образцов с преимущественной ориентацией кристаллитов (текстурой)?

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

 

Постоянные решётки изомеров с кубической структурой

 

a, Å	Вещество	a, Å	Вещество	a, Å	Вещество
A1*Fm3m**	B1 Fm3m	B3 F 3m
3,52	Ni	4,03	LiF	4,86	BeS
3,56	a-Co	4,11	VO	5,42	b-ZnS
3,61	Cu	4,16	VC	5,43	a-AlP
3,84	Ir	4,18	NiO	5,65	GaAs
3,92	Pt	4,21	MgO	5,83	b-CdS
4,05	Al	4,24	TiO	5,87	InP
4,08	Au	4,45	TaC	6,05	InAs
4,09	Ag	4,70	CdO	6,13	CaSb
4,94	Pb	5,22	MnS	6,42	CdTe
5,15	a-Se	5,64	NaCl	6,47	InSb
5,58	Ca	5,69	SnAs	C1 Fm3m
A2 Im3m	5,94	PbS	5,40	SeO2
2,87	a-Fe	6,30	SnTe	5,60	Cu2S
2,89	a-Cr	7,00	BaTe	6,85	Mg2Pb
3,04	V	B2 Pm3m	C3 Pm3m
3,15	Mo	2,61	NiO	4,26	Cu2O
3,17	W	2,70	CuB	4,73	Ag2O
3,301	Nb	2,84	AlNi
3,303	Ta	2,95	CuZn
A4 Fd3m	3,16	AgZn
3,57	C-алмаз	3,33	AgCl
5,43	Si	4,12	CsCl
5,66	Ge
6,47	a-Sn

 

* Структурный тип. ** Пространственная группа.

 

Межплоскостные расстояния и относительные интенсивности для идентификации некоторых веществ.

 

Al	Si	Ge
hkl	dhkl,Å	I/Io	hkl	dhkl,Å	I/Io	hkl	dhkl,Å	I/Io
	2,33	1,00		3,12	1,00		3,27	1,00
	2,02	0,40		1,91	1,00		2,00	0,57
	1,43	0,30		1,63	0,63		1,71	0,39
	1,22	0,30		1,35	0,18		1,41	0,07
	1,17	0,07		1,24	0,25		1,30	0,10
	1,01	0,02		1,10	0,40		1,16	0,70
	0,93	0,04		1,04	0,35		1,09	0,07
	0,91	0,04		0,96	0,06		1,00	0,03
	0,83	0,01		0,92	0,13		0,96	0,11
	0,78	0,01		0,86	0,80		0,90	0,06
				0,83	0,03		0,86	0,04
				0,78	0,01		0,82	0,02
				0,76	0,04		0,79	0,08

 

 

GaAs	CdTe	PbS
hkl	dhkl,Å	I/Io	hkl	dhkl,Å	I/Io	hkl	dhkl,Å	I/Io
	3,26			3,71			3,31	0,84
	2,82			3,22			2,94	1,00
	1,99			2,27			2,10	0,57
	1,70			1,94			1,77	0,35
	1,63			1,85			1,71	0,16
	1,41			1,61			1,48	0,10
	1,30			1,48			1,35	0,10
	1,26			1,44			1,33	0,17
	1,15			1,31			1,21	0,10
	1,09			1,24			1,14	0,06
	1,00			1,14			1,05	0,03
	0,95			1,09			1,00	0,05
	0,94			1,07			0,99	0,06
	0,89			1,02			0,94	0,04

 

 

NaCl	CsO2	MgO
hkl	dhkl,Å	I/Io	hkl	dhkl,Å	I/Io	hkl	dhkl,Å	I/Io
	3,25			3,11	1,00		2,43	0,06
	2,82			2,66	0,25		2,10	1,00
	1,00			1,90	0,80		1,49	0,75
	1,99			1,62	0,60		1,27	0,06
	1,70			1,55	0,10		1,22	0,15
	1,63			1,35	0,10		1,05	0,04
	1,41			1,24	0,25		0,97	0,04
	1,26			1,21	0,16		0,94	0,10
	1,15			1,10	0,20		0,86	0,05

 

 

CdO	Pb	Ta
hkl	dhkl,Å	I/Io	hkl	dhkl,Å	I/Io	hkl	dhkl,Å	I/Io
	2,71	1,00		2,85	1,00		2,33	1,00
	2,35	0,88		2,47	0,50		1,65	0,20
	1,66	0,43		1,74	0,50		1,35	0,30
	1,42	0,28		1,49	0,50		1,17	0,05
	1,36	0,13		1,43	0,17		1,05	0,05
	1,17	0,05		1,13	0,17		0.95	0,03
	1,08	0,09		1,11	0,17		0,88	0,05
	0,96	0.11

 

Литература

1. Горелов А.А. Концепция современного естествознания. М., Центр, 2000