Свойства определенных интегралов (св.8-9).
8) Если f(x) интегрируема на [a,b]. M-наибольшее, m-наименьшее значения функции f(x) на [a,b], то интеграл с Доказательство: Рассмотрим две функции , По свойствам интеграла следует, Учитывая, , , получаем требуемое. Наша площадь больше, чем но меньше .Название свойства – оценка интеграла. 9) Теорема о среднем для о.и. 1. f(x) интегрируема на [a,b] и заключается в 2. Если f(x) непрерывна на[a,b] , то Доказательство: По свойству 8 Если f(x) непрерывна, то она хотя бы раз примет каждое значение из промежутка [m,M]. Следовательно, при некотором она примет и значения Определенный интеграл с переменным верхним пределом. 1) О.и. с переменным верхним пределом Пусть f(x) интегрируема на [a,b], тогда она будет интегрируема на промежутке [a,x], где x любое из [a,b]. Заменив в о.и. верхний предел b на x получим выражение , которое будет являться функцией от x. Свойства функции f(x): 1. Если f(x) подынтегральная функция интегрируемая на [a,b], то Ф(x) будет непрерывной функцией от x в [a,b]. Доказательство: Зададим переменной x некоторое приращение (h выбираем так, чтобы ) Получим новое задание функции . Применим к интегралу теорему о среднем(свойство 9) (1) , где наибольшее, наименьшее значение промежутка [x,x+h]. Тогда выполняется, что . Устремив h к 0 получим, что , ( ), что и доказывает непрерывность функции. 2. Если f(t) непрерывна в точке t=x, то имеет производную в этой точке равную f(x) Доказательство: Итак, согласно формуле (1) , где . Т.к. f(t) непрерывна при t=x, то можно подобрать такое . То есть , значит . , значит Вывод:Если f(x) непрерывна во всем [a,b], то она интегрируема и по свойству 2 для любой точки x из [a,b]. Значит, что производная от интеграла равна значению подынтегральной функции в точке x. Итак, для непрерывной в [a,b] функции всегда существует первообразная. Примером ее является о.и. с переменным верхним пределом. 2) аналогично вводится интеграл с переменным нижним пределом. Изучать его свойства нет смысла, т.к. по свойству.
Основная формула интегрального исчисления. Пусть f(x) непрерывна на [a,b], тогда будет являться первообразной функцией для f(x), т.к. ( ). Если теперь F(x) любая первообразная для f(x), то . Для определения с(const). x=b (*) Формула Ньютона-Лейбница. Основная формула интегрального исчисления. Значение о.и. выражается разностью двух значений при x=a и x=b. Если применить теорему о среднем и учтем, что , то получим, что Получили формулу для конечных приращений Лагранжа для F(x). Таким образом, основная формула (*) устанавливает связь между теоремой о среднем, дифференциальным и интегральным исчислении.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (260)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |