Свойство деления суммы двух натуральных чисел на натуральное число.

Чтобы свойство деления суммы двух натуральных чисел на данное натуральное число стало совсем очевидно, достаточно рассмотреть следующую ситуацию.

Между детьми в группе решили поровну разделить фрукты, которые находятся в двух пакетах (будем считать, что натуральные числа, определяющее количества фруктов в пакетах, можно разделить на натуральное число, соответствующее количеству детей в группе). Для этого можно сначала сложить вместе фрукты из двух пакетов, после чего разделить и раздать их. А можно сначала разделить фрукты из первого пакета и раздать их детям, после чего разделить фрукты из второго пакета и раздать их. Понятно, что и в том и в другом случае у каждого ребенка окажется одно и то же количество фруктов.

Теперь мы можем привести формулировку рассматриваемого свойства: разделить сумму двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что сложить частные от деления каждого слагаемого на данное натуральное число.

Запишем это свойство деления с помощью букв. Пусть a, b и c – такие натуральные числа, что a можно разделить на c и b можно разделить на c, тогда (a+b):c=a:c+b:c. В правой части записанного равенства в первую очередь выполняется деление, после чего – сложение (при необходимости просмотрите материал статьи порядок выполнения действий).

Приведем пример, подтверждающий справедливость свойства деления суммы двух натуральных чисел на данное натуральное число. Покажем, что равенство (18+36):6=18:6+36:6 верное. Сначала вычислим значение выражения из левой части равенства. Так как 18+36=54, то (18+36):6=54:6. Из таблицы умножения находим 54:6=9 (смотрите раздел теории деление при помощи таблицы умножения). Переходим к вычислению значения выражения 18:6+36:6. Из таблицы умножения имеем 18:6=3 и 36:6=6, поэтому 18:6+36:6=3+6=9. Следовательно, равенство (18+36):6=18:6+36:6 верное.

Еще следует обратить внимание на тот факт, что это свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел позволяют выполнять деление суммы трех и большего количества натуральных чисел на данное натуральное число. Например, частное (14+8+4+2):2 равно сумме частных следующего вида 14:2+8:2+4:2+2:2.

Свойство деления разности двух натуральных чисел на натуральное число.

Аналогично предыдущему свойству формулируется свойство деления разности двух натуральных чисел на данное натуральное число: разделить разность двух чисел на данное число – это все равно, что отнять от частного уменьшаемого и данного числа частное вычитаемого и данного числа.

С помощью букв это свойство деление можно записать так: (a-b):c=a:c-b:c, где a, bи c – такие натуральные числа, что a больше или равно b, а также и a и b можно разделить на c.

В качестве примера, подтверждающего рассматриваемое свойство деления, покажем справедливость равенства (45-25):5=45:5-25:5. Так как 45-25=20 (при необходимости изучите материал статьи вычитание натуральных чисел), то (45-25):5=20:5. По таблице умножения находим, что полученное частное равно 4. Теперь вычислим значение выражения 45:5-25:5, стоящего в правой части равенства. Из таблицы умножения имеем 45:5=9 и 25:5=5, тогда 45:5-25:5=9-5=4. Следовательно, равенство (45-25):5=45:5-25:5 верно.

Свойство деления произведения двух натуральных чисел на натуральное число.

Если увидеть связь между делением и умножением, то будет видно и свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, равное одному из множителей. Его формулировка такова: результат деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, которое равно одному из множителей, равен другому множителю. Приведем буквенный вид этого свойства деления: (a·b):a=b или (a·b):b=a, где a и b – некоторые натуральные числа.

Например, если разделить произведение чисел 2 и 8 на 2, то получим 8, а (3·7):7=3.

Теперь будем считать, что делитель не равен ни одному из множителей, образующих делимое. Сформулируем свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число для этих случаев. При этом будем считать, что хотя бы один из множителей можно разделить на данное натуральное число. Итак, разделить произведение двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель.

Озвученное свойство, мягко говоря, не очевидно. Но если вспомнить, что умножение натуральных чисел по сути является сложением некоторого количества равных слагаемых (об этом написано в разделе теории смысл умножения натуральных чисел), то рассматриваемое свойство следует из свойства деления суммы натуральных чисел на данное натуральное число.

Запишем это свойство с помощью букв. Пусть a, b и c – натуральные числа. Тогда, если a можно разделить на c, то справедливо равенство (a·b):c=(a:c)·b; если bможно разделить на c, то справедливо равенство (a·b):c=a·(b:c); а если и a, и bможно разделить на c, то имеют место оба равенства одновременно, то есть, (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c).

К примеру, в силу рассмотренного свойства деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число справедливы равенства (8·6):2=(8:2)·6 и (8·6):2=8·(6:2), которые можно записать в виде двойного равенства вида (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2).