Множества, их виды; способы задания множеств. Основные числовые множества. Диаграммы Эйлера – Венна. Равные множества.

Подмножества будет пониматься совокупность предметов различаемых на них, но воспринимаемое, как единое целое.

Объекты, из которых состоит множество наз элементами множества.

Для ряда числовых множеств приняты обозначения:

N-натуральные

Z-целые

Q-рациональные

R-действительные

Множества можно задавать с помощью характерного свойства, кот удовлетворяет элементы множества и только они.

Виды множеств. Пустые множества. Пустое множество – это то множество, которое вообще не содержит никаких элементов. Обозначается оно цифрой 0 или специальным значком ∅. Примером пустого множества может служить любое нелогичное понятие, противоречащее самому себе — «множество птиц, живущих на дне океана», или «множество деревьев на Луне». Поскольку оба множества лишены смысла и не отвечают реальности, то, следовательно, они являются пустыми. Скажем, количество деревьев на Луне – 0, поэтому «множество деревьев на Луне» будет пустым (не будет содержать ни одного элемента). Равные множества. Равные множества – это два или более множеств, состоящих из равных наборов элементов. Приведём пример. Скажем, все члены Вашей семьи находятся на кухне. Таким образом, Множество «Члены семьи на кухне» будет равно множеству «Члены семьи в квартире». Если два множества — А и B — состоят из одинакового набора элементов, то они будут равны, то есть А = B. Элементы множеств могут перечисляться в любой последовательности, на результат это никак не влияет. Множество {a, b, c} можно с тем же успехом записать, как {a, c, b}, или {с, b, a}, или {b, c, a}. Подмножества и надмножества. Если множества А и B состоят из одинаковых элементов {a, b, c}, то А будет считаться подмножеством B, а B — надмножеством А. Записывается это следующим образом: A ⊆ B, B ⊇ A. Бывает так, что множество В содержит в себе каждый из элементов множества А, но в то же время в нем присутствуют и другие элементы, множеству А не принадлежащие. В этом случае множество В становится собственным надмножеством А, в то время как множество А становится собственным подмножеством В. Иначе говоря, если А ⊆ В, но при этом А ≠ В, то А ⊂ В, В ⊃ А.

Отношения между множествами можно представить в виде диаграмм Эйлера-Венна. В этом случае множества представляются виде замкнутых линий, ограничение в области, соответствующих множества, состоящие из всех элементов рассматриваемых в данных ситуациях наз универсальные множества.

Объединением множества Аи В наз множества, кот принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Пересечением А и В наз множества, кот принадлежат А и В.

Разность А и В наз множества, кот А не принадлежит В.

Дополнением Аи В наз множества, кот состоящая из элементов И не принадлежит А.

Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Тогда пишут A = B. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a, b, cдопускает шесть видов записи:

{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

Из соображений формального удобства вводят еще так называемое "пустое множество", а именно, множество, не содержащее ни одного элемента. Его обозначают , иногда символом 0 (совпадение с обозначением числа нуль не ведет к путанице, так как смысл символа каждый раз ясен).

Если каждый элемент множества A входит во множество B, то A называется подмножеством B, а B называется надмножеством A. Пишут (A входит в B или A содержится в B, B содержит A). Очевидно, что если и , то A = B. Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.

Если каждый элемент множества A входит в B, но множество B содержит хотя бы один элемент, не входящий в A, т. е. если и , то A называется собственным подмножеством B, а B - собственным надмножеством A. В этом случае пишут . Например, запись и означают одно и то же, а именно, что множество A не пусто.

Заметим еще, что надо различать элемент a и множество {a}, содержащее a в качестве единственного элемента. Такое различие диктуется не только тем, что элемент и множество играют неодинаковую роль (отношение не симметрично), но и необходимостью избежать противоречия. Так, пусть A = {a, b} содержит два элемента. Рассмотрим множество {A}, содержащее своим единственным элементом множество A. Тогда A содержит два элемента, в то время как {A} - лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно. Поэтому рекомендуется применять запись , и не пользоваться записью .