Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Аксиоматическое определение вычитания целый неотрицательных чисел.



2018-07-06 1230 Обсуждений (0)
Аксиоматическое определение вычитания целый неотрицательных чисел. 0.00 из 5.00 0 оценок




Раздел I. Математика и элементы логики.

Свойства множества натуральных чисел. Аксиоматическое определение вычитания целых неотрицательных чисел.

Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

Свойства отношения "меньше":

1. Для любого натурального числа а справедливо а < а ,.

2. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b, а < b.

3. Если а < b и b < с, то а < с.

4. Если а < b, то неверно, что b < а.

Свойство монотонности сложения

1) а < b a + c < b + c; 2) а > b a + c > b + c.

Свойство монотонности умножения

1) а < b ac<bc;

2) а > b ac>bc.

7. Свойство Архимеда: Для любых натуральных чисел а и b; существует та­кое натуральное число n, что пb> а.

Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства:

1) Ни для одного натурального числа, а не существует такого натурального числа п, что а <п <а + 1. Это свойство называется свойством дискретностимножества натуральных чисел, а числа, а и а + 1 называют соседними.

2)Любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число. Это свойство называется принципом наименьшего числа.

3) Если М- непустое подмножество множества натуральных чисел и существует такое число b, что для всех чисел М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число. Это свойство называют принципом наибольшего числа.

Аксиоматическое определение вычитания целый неотрицательных чисел.

При аксиоматическом построении теории целых неотрицательных чисел вычитание определяется как операция, обратная сложению.

 

Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется такое натуральное число с, что а = с + b. Это число обозначают а – b. Число а называют уменьшаемым, b – вычитаемым.

 

Разность целых неотрицательных чисел a и b существует, если b a и она единственна.

 

Будем считать, что 0 – 0 = 0 и а – а = 0.

 

Теорема. Еслиразность целых неотрицательных чисел существует, если b a.

Доказательство. Пусть а = b. Тогда а – b = 0, и следовательно, разность существует. Если b < a, то по определению отношения «меньше» существует натуральное число с такое, что a = b + c. Тогда по определению разности с = а – b, т.е. разность существует и b + c = a. Если с = 0, то а = b; если с > 0, то b < a по определению отношения «меньше». Итак, b a.

 

Теорема. Если разность натуральных чиселa и bсуществует, то онаединственна.

Доказательство. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b: a – b = c и a – b = c . Тогда, по определению разности, имеем: a = b + c и a = b + c . Отсюда следует, что b + c = b + c и значит c = c . Мы пришли к противоречию с нашим предположением. Следовательно, значение разности чисел a и b единственно.

 

Дистрибутивность умножения относительно вычитания: при b < a и при любых натуральных с верно равенство (a - b) c = a c - b c.

 

Докажем, что при b < a и при любых натуральных с верно равенство (a - b) c = a c - b c.

 

Доказательство. Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество таких натуральных чисел с, для которых верно равенство (a - b) c = a c - b c.

 

Докажем, что 1 М, т.е. что равенство (а - b) 1 = а 1 - b 1истинно. Согласно свойству 1 из определения умножения имеем: (а - b) 1 = а - b = а 1 - b 1.

 

Докажем теперь, что если с М, то с М, т.е. что из равенства (a - b) c = a c - b c следует равенство (a - b) с = a с - b с .

По определению умножения, имеем: (a - b) с =(а - b) (c + 1) = (а - b) c - (a - b) 1 = (a c - b c) + (a - b) = (a c - b с + a) - b =(a c + а) - ( b c + b) =a (c + 1) – b (c + 1) = a с - b с .
Итак, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что оно содержит с, следует, что и с содержится в М. По аксиоме 4 получаем, что М = N. Это значит, что равенство (a - b) c = a c - b c верно для любых натуральных чисел с, а также для любых произвольных а и b.

Правило вычитания числа из суммы: при а с имеем, что (a + b) - c = (a - c) + b; при b c имеем, что (a + b) - c = a + (b - c); при a c и b c можно использовать любую из данных формул.

Докажем, что если а с, то (a + b) - c = (a - c) + b. Доказательство. В первом случае разность существует, т.к. a > c. Обозначим ее через х: а – с = х, откуда а = с + х. Если (a + b) – c = y, то по определению разности a + b = c + y. Подставим в это равенство вместо а выражение с + х: (с + х) + b = с + y. Воспользуемся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с + y. Преобразуем это равенство: x + b = y . Заменив в данном равенстве х на выражение а – с, будем иметь (а – c) + b = y.

 

Таким образом, мы доказали: если а с, то (a + b) – c = (a - c) + b.

Правило вычитания суммы из числа: при условии, что a b +c, имеем а – (b + c) = (a – b) – c.

Правило вычитания разности из числа: при a > b, имеем а – (b – c) = (a + c) – b = (a – b) +c.

Правило вычитания числа из разности:при a > b, имеем (а – b) – c = a – (b + c).

В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над однозначными числами. Различные правила вычитания являются теоретической основой различных приемов вычислений.

 

Например, (40 + 16) – 10 = (40 – 10) + 16 = 30 + 16 = 46 или (40 + 16) – 10 = 40 + (16 – 10) = 40 + 6 = 46.



2018-07-06 1230 Обсуждений (0)
Аксиоматическое определение вычитания целый неотрицательных чисел. 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Аксиоматическое определение вычитания целый неотрицательных чисел.

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1230)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.008 сек.)