АЛГОРИТМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ

Алгоритм включает такую последовательность действий.

1. Сформировать матрицу расстояний D, элементы которой будем определять по формуле ортогональной метрики:

d_ij = |x_i - x_j| + |y_i - y_j| . (3.2)

2. Для каждой строки матрицы D определить суммарное значение:

3. Ввести матрицу связности R и ее размерность n.

4.Для каждой строки матрицы связности R определить сумму элементов:

5. Найти минимальное значение d_i, если B=i, то пометить столбец j=B.

6. Найти максимальное значение r_i , если Е=i, то удалить столбец j=B.

7. Разместить элемент Е в позицию В.

8. Найти минимум d_i среди оставшихся (m – 1) элементов; просмотреть строку с минимальным d_i и найти минимальный d_ij среди помеченных элементов. Здесь j=B. Определить, какой элемент расположен в позиции j; вновь присвоить B=i, j=B и пометить столбец j.

9. Рассмотреть строку Е в матрице R и найти максимальный r: присвоить E=i, j=E и пометить столбец j.

10. Найти число помеченных столбцов k; если k<n, идти к 8, иначе – к 11.

11. Подсчитать суммарную длину соединений.

 

ПРИМЕР 3.1

 

Дано монтажное пространство (печатная плата) (рис.3.1,а), в котором име-ется 7 свободных позиций с координатами центров позиций соответственно: x₁=2, y₁=1; x₂=2, y₂=2; x₃=3, y₃=2; x₄=4, y₄=2; x₅=1, y₅=3; x₆=2, y₆=3; x₇=4, y₇=4.

На эти позиции необходимо разместить по критерию минимальной суммарной длины связей семь микросхем, соединенных в соответствии со схемой рис.3.2, а.

Решение

В качестве модели печатной платы возьмем решетку графа (рис. 3.2, б) и по формуле

d_ij = |x_i - x_j| + |y_i - y_j|

вычислим матрицу расстояний D:

 

1 2 3 4 5 6 7

1 0 1 2 3 3 2 5 16

2 1 0 1 2 2 1 4 [11]

3 2 1 0 1 3 2 3 12

D = 4 3 2 1 0 4 3 2 15

5 3 2 3 4 0 1 4 17

6 2 1 2 3 1 0 3 12

7 5 4 3 2 4 3 0 21 .

 

Определим сумму элементов S d_ij в каждой i-й строке матрицы и запи-

J=1

шем ее справа от матрицы. Сумма показывает суммарную удаленность i-й позиции от всех остальных.

Схему соединения корпусов представим в виде мультиграфа (рис. 3.2, б), для которого построим матрицу связности R:

 

1 2 3 4 5 6 7

1 0 3 0 2 2 0 1 8

2 3 0 3 0 5 0 0 [11]

3 0 3 0 2 0 0 0 5

R = 4 2 0 2 0 0 0 0 4

5 2 5 0 0 0 3 0 10

6 0 0 0 0 3 0 3 6

7 1 0 0 0 0 3 0 4 .

 

Суммирование элементов r_ij в строках матрицы дает локальную степень каждой вершины графа.

Среди S d_ij находим минимальное число, оно равно 11 и соответствует

J=1

позиции №2. Звездочками помечают все элементы второго столбца матрицы

D. Среди S r_ij находим максимальное число, оно равно 11 у вершины №2.

J=1

Поэтому 2-й модуль, имеющий наибольшее количество связей, размещаем в позицию №2, которая наиболее удалена от остальных позиций платы. После этого 2-й столбец матрицы R исключаем из дальнейшего рассмотрения. Имеем

 

1 3 4 5 6 7

1 0 0 2 2 0 1

2 3 3 0 [5] 0 0

3 0 0 2 0 0 0

R = 4 2 2 0 0 0 0

5 2 0 0 0 3 0

6 0 0 0 3 0 3

7 1 0 0 0 3 0

 

1 2* 3 4 5 6 7

1 0 1 2 3 3 2 5 16

2 1 0 1 2 2 1 4

3 2 [1] 0 1 3 2 3 [12]

D = 4 3 2 1 0 4 3 2 15

5 3 2 3 4 0 1 4 17

6 2 1 2 3 1 0 3 12

7 5 4 3 2 4 3 0 21 .

 

Среди оставшихся S d_ij находим минимальное число. Оно равно 12 сразу

J=1

у двух позиций: №3 и №6. Берем 1-ю по порядку позицию №3. Помечаем все элементы третьего столбца матрицы D. Проходим вторую строку матрицы R и находим, что в ней максимальный элемент 5, который находится в 5-м столбце. Следовательно, модуль №5 размещаем в позицию №3, а 5-й столбец матрицы R из дальнейшего рассмотрения исключается. Получили

 

1 3 4 6 7

1 0 0 2 0 1

2 3 [3] 0 0 0

3 0 0 2 0 0

R = 4 2 2 0 0 0

5 2 0 0 3 0

6 0 0 0 0 3

7 1 0 0 3 0

 

1 2* 3* 4 5 6 7

1 0 1 2 3 3 2 5 16

2 1 0 1 2 2 1 4

3 2 1 0 1 3 2 3

D = 4 3 2 1 0 4 3 2 15

5 3 2 3 4 0 1 4 17

6 2 [1] 2 3 1 0 3 [12]

7 5 4 3 2 4 3 0 21

На следующем шаге отыскиваем min из S d_6j =12 в строке №6.

J=1

Просматриваем шестую строку матрицы D и среди помеченных элементов 2-го и 3-го столбцов выбираем минимальный. Так определяем, к какой из уже занятых позиций, позиция №6 находится ближе всего: min[d₆₂, d₆₃] = d₆₂ = 1 – ко 2-й. Во второй позиции уже находится модуль №2. Поэтому просматриваем вторую строку матрицы R и выбираем максимальный элемент r₂₁ = 3. Он соответствует 1-му модулю, поэтому элемент №1 размещаем в позицию №6.

Исключаем из дальнейшего рассмотрения первый столбец матрицы R.

Получили матрицы

 

 

3 4 6 7

1 0 2 0 1

2 3 0 0 0

3 0 2 0 0

R = 4 2 0 0 0

5 0 0 [3] 0

6 0 0 0 3

7 0 0 3 0

 

1 2* 3* 4 5 6* 7

1 0 1 2 3 3 2 5 16

2 1 0 1 2 2 1 4

3 2 1 0 1 3 2 3

D = 4 3 2 [1] 0 4 3 2 [15]

5 3 2 3 4 0 1 4 17

6 2 1 2 3 1 0 3

7 5 4 3 2 4 3 0 21 .

 

Далее выбираем min из S d_ij = 15 в 4-й строке. В четвертой строке матрицы

J=1

D среди помеченных элементов d₄₂, d₄₃, d₄₆ минимальный d₄₃ = 1.Это говорит о том, что до позиции №4 ближе всех позиция №3, в которой уже размещен модуль №5. Поэтому просматриваем пятую строку матрицы R и среди оставшихся в ней элементов находим минимальный: r₅₆ = 3 в шестом столбце. Тогда модуль №6 размещаем в позицию №4 и исключаем из дальнейшего рассмотрения столбец №6 матрицы R:

 

3 4 7

1 0 2 1

2 [3] 0 0

3 0 2 0

R = 4 2 0 2

5 0 0 0

6 0 0 3

7 0 0 0

 

1 2* 3* 4* 5 6* 7

1 0 [1] 2 3 3 2 5 [16]

2 1 0 1 2 2 1 4

3 2 1 0 1 3 2 3

D = 4 3 2 1 0 4 3 2

5 3 2 3 4 0 1 4 17

6 2 1 2 3 1 0 3

7 5 4 3 2 4 3 0 21 .

Вновь выбираем минимальную из оставшихся сумм: S d_1j = 16 для пози-

J=1

ции №1. Просматриваем первую строку матрицы D и среди помеченных элементов {d₁₂, d₁₃, d₁₄, d₁₆} находим min: это d₁₂ = 1. Значит, от позиции №1 наименее удалена позиция №2, в которой находится модуль №2. Помечаем все элементы первого столбца матрицы D. Просматриваем вторую строку матрицы R и выбираем максимальный элемент r₂₃ = 3 для элемента №3. Его устанавливаем в 1-ю позицию, а 3-й столбец матрицы исключаем из дальнейшего рассмотрения:

4 7

1 [2] 1

2 0 0

3 2 0

R = 4 0 0

5 0 0

6 0 3

7 0 0

 

1* 2* 3* 4* 5 6* 7

1 0 1 2 3 3 2 5

2 1 0 1 2 2 1 4

3 2 1 0 1 3 2 3

D = 4 3 2 1 0 4 3 2

5 3 2 3 4 0 [1] 4 [17]

6 2 1 2 3 1 0 3

7 5 4 3 2 4 3 0 21 .

Далее выбираем min S d_1j = 17, соответствующую позиции №5. Среди по-

J=1

меченых элементов пятой строки матрицы D {d₅₁, d₅₂, d₅₃, d₅₄, d₅₆} находим, минимальный: d₅₆ = 1. Помечаем все элементы пятого столбца матрицы D. В шестой позиции размещен элемент №1. Поэтому просматриваем первую строку матрицы R, находим max r_ij=2 для модуля №4. Размещаем модуль №4 в позицию №5, исключаем из дальнейшего рассмотрения четвёртый столбец матрицы R:

 

1

1 1

2 0

3 0

R = 4 0

5 0

6 3

7 0

 

 

 

 

 

 

а) б)

Рис.3.1

Рис.3.2

 

 

1 2 3 4 5 6 7

1 0 1 2 3 3 2 5

2 1 0 1 2 2 1 4

3 2 1 0 1 3 2 3

D = 4 3 2 1 0 4 3 2

5 3 2 3 4 0 1 4

6 2 1 2 3 1 0 3

7 5 4 3 2 4 3 0 21

 

Последний седьмой модуль, следовательно, попадает в оставшуюся свободной седьмую позицию. Результат размещения дан на рис. 3.3.

 

Рис.3.3.

 

Суммарная длина соединений получилась равной 35 условным единицам.