Числовые равенства и неравенства. Уравнения с одной переменой. Равносильные уравнения. Неравенства с переменной. Равносильные неравенства.

Декартово произведение множеств, его свойства и изображение на плоскости. Число элементов в декартовом произведении множеств.

Декартовым произведением множеств А и В называются множества всех упорядоченных пар, в которых первая компонента принадлежит множеству А, а вторая множеству В.

АхВ={(а;в)| а?А,в?В} А={а;в;с;d} B={1;2;3}

AxB={(a;1);(a;2);(a;3)

(в;1);(в;2);(в;3)

(с;1);(с;2);(с;3)

(d;1);(d;2);(d;3)}

BxA = {(1;а);(1;в);(1;с);(1;d);

(2;а);(2;в);(2;с);(2;d);

(3;а);(3;в);(3;с);(3;d)}

АхВ≠ВхА, таким образом, декартово произведение коммуникативно, не ассоциативно.

Свойства:

1. Не обладает комуникативностью и ассоциативностью.

2. Дистрибутивность относительно объединения и вычитания множеств.

зображение декартова произведения числовых множеств на координатной плоскости.

Если множества А и В – числовые то их декартово произведение можно изобразить точками на координатной плоскости.

Число элементов декартова произведения конечных множеств.

Число элементов декартова произведения конечных множеств равно произведению числа элементов составляющих множеств. N(AxB)=n(A)∙n(B)

Изображение декартова произведения числовых множеств на координатной плоскости.

Если множества А и В – числовые то их декартово произведение можно изобразить точками на координатной плоскости.

Понятие алгебраической операции. Свойства алгебраических операций.

Алгебраической операций па множестве X называется соответствие, при котором каждой паре элементов из множества X сопоставляется единственный элемент того же множества.

Примерами алгебраических операций могут служить:

- сложение на множестве натуральных чисел, поскольку сумма любых натуральных чисел является натуральным числом. Иначе говоря, при сложении каждой паре (х, у) натуральных чисел ставится в соответствие единственное натуральное число, обозначаемое х + у;

- вычитание на множестве целых чисел, так как разность любых целых чисел является целым числом или, говоря иначе, при вычитании каждой паре (х, у) целых чисел ставится в соответствие единственное целое число, обозначаемое х-у;

- деление на множестве рациональных чисел при условии, что исключается деление на нуль. Тогда частное любых рациональных чисел есть рациональное число, т.е. каждой паре (х, у) рациональных чисел ставится в соответствие единственное рациональное число.

Свойства алгебраических операций:

1. Для любых целых чисел a и b имеет место переместительный закон сложения:

a+b=b+a.

2. Для любых целых чисел a, b и c имеет место сочетательный закон сложения:

(a+b)+c=a+(b+c).

3. Для любого целого числа aвыполняется свойствоa+0=0+a=a, где 0¾нуль.

4. Для любого целого числа a имеет место равенство a+(-a)=0, где -a ¾ противоположное число к a.

5. Для любых целых чисел a, b и c имеют место распределительный закон:

a×(b+c)=a×b+a×c, (a+b)×c=a×c+b×c.

6. Для любых целых чисел a и b имеет место переместительный закон умножения:

a×b=b×a.

7. Для любых целых чисел a, b и c имеет место сочетательный закон умножения:

(a×b)×c=a×(b×c).

8. Для любого целого числа a выполняется свойство a×1=1×a=a, где 1 ¾ единица.

 

Числовые равенства и неравенства. Уравнения с одной переменой. Равносильные уравнения. Неравенства с переменной. Равносильные неравенства.

Числовое равенство – это запись, состоящая из двух числовых выражений, соединённых знаком равенства (5=5, 5+6=7+4, 4+5=10-1, (4:2+5)*3=21).

Числовое неравенство – это запись, состоящая из двух числовых выражений, соединённых знаками <, >(5<8, 5+6>4, 4<10-1, 4:2<21:7).

Числовые равенства и неравенства бывают верные (5+6=7+4, 4<10-1) и неверные(5+6=7-4, 4+6<10-1).

Уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную.

Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Равносильными уравнениями называются такие уравнения, которые имеют одни и те же корни, например уравнения х2 = 3х - 2 и x2+2 = 3x равносильны (оба имеют корни х = 1 и х = 2).

Процесс решения уравнений заключается в основном в замене данного уравнения другим, ему равносильным.

Неравенство с одной переменной имеет вид

f(x)∨g(x), f(x)∨g(x), гдеf(x)f(x),g(x)

g(x) - некоторые функции.

Решением неравенства называют значение переменной, при подстановке которого в данное неравенство получается верное числовое неравенство.

Решить неравенство - означает найти его решения или доказать, что их нет.

ОДЗ. Областью допустимых значений неравенства называют множество, на котором определены обе функции f(x), g(x)

Равносильные неравенства – неравенства, имеющие одни и те же решения. В частном случае, неравенства, не имеющие решений, тоже называются равносильными.

Иными словами, если неравенства равносильны и имеют решения, то любое решение первого будет являться и решением второго. Ни одно из равносильных неравенств не имеет решений, не являющихся решениями других, равносильных ему неравенств.