МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

В рекомендованных учебниках [1], [2], а также в руководствах [4Jи [5] учащиеся найдут достаточное число примеров задач подобных тем, которые включены в контрольную работу. Поэтому ниже даны лишь необходимые краткие методические указания к решению задач контрольной работы.

Первую задачу (задачи 1 —10) следует решить после изучения тем 1.1.1 и 1.1.2.1. Во всех задачах рассматривается равновесие плоской системы сходящихся сил и требуется определить реакции двух шарнирно соединенных между собой стержней, удерживающих два груза. Таким образом, к шарнируВв каждой задаче приложены четыре силы, из которых две неизвестны. Можно избрать три способа решения: аналитический, графический и геометрический. Для данного типа задач целесообразно использовать аналитический способ решения.

Последовательность решения задачи:

1Выбрать тело (точку), равновесие которого следует рассматривать.

2Освободить тело (шарнир В) от связей и изобразить действующие на него активные силы и реакции отброшенных связей. Причем реакции стержней следует направить от шарнираВ, так как принято предполагать, что стержни растянуты.

3Выбрать оси координат и составить уравнения равновесия,используя условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости ∑Xi= 0; ∑Уi =0. Выбирая оси координат, следует учитывать, что полученные уравнения будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно одной из неизвестных сил.

4 Определить реакции стержней из решения указанной системы уравнений.

Пример 1 Определить реакции стержней, удерживающих грузы F₁= 70 кН и F₂= 100 кН (рис. 1,а). Массой стержней пренебречь.

 

 

 

Рисунок 1

 

Решение:1 Рассматриваем равновесие шарнира В(рисунок 1,а).

2Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей (рисунок 1,б).

3Выбираем систему координат, совместив ось упо направлению с реакцией N₂ (рисунок 1,б) и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В:

∑Xi = -N_1·cos 45° + F_2·cos 30° = 0 (1)

∑Yi= N₁·sin45° + N₂+ F₂·sin30° - F₁ = 0 (2)

4 Определяем реакции стержней N₁и N₂, решая уравнения (1), (2).

Из уравнения (1)

N₁ =F₂ ·cos30° / cos45° =100 · 0,866/0,707=122 кН

Подставляя найденное значение N₁в уравнение (2), получаем

N₂= F₁- F₂ ·sin 30° - N₁ · sin 45° = 70 - 100 · 0,5 - 122 · 0,707 = -66,6 кН

Знак минус перед значением N₂указывает на то, что первоначально выбранное направление реакции неверное ­­- следует направить реакцию N₂в противоположную сторону, т. е. к шарниру В (на рисунке 1,б истинное направление реакции N₂показано штриховым вектором).

 

Задачи 1—10Определить реакции стержней, удерживающих грузы F₁и F₂.Массой стержней пренебречь. Схему своего варианта смотри на рисунке 2. Числовые данные своего варианта взять из таблицы 2.

Таблица 2

 

 

 

№ задачи и схемы на рис. 2	F1	F2
	2 | 3						9 | 10
Варианты	кН
										0,4	0,5
										0,3	0,8

 

Рисунок 2

Вторую задачу (задачи 11—20) следует решать после изучения тем 1.1.1, 1.1.2.1 и 1.1.2.2. Во всех задачах требуется определить реакции опор балок. Учащимся необходимо приобрести навыки определения реакций опор, так как с этого начинается решение многих задач по сопротивлению материалов

и деталям машин.

 

Последовательность решения задачи:

1Изобразить балку вместе с нагрузками.

2Выбратьрасположение координатных осей, совместив ось х с балкой, а ось у направив перпендикулярно осих.

3Произвести необходимые преобразования заданных активных сил: силу, наклоненную к оси балки под углом α, заменить двумявзаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную нагрузку - ее равнодействующей, приложенной в середине участка распределения нагрузки.

 

 

Рисунок 3

 

40свободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор,
(рисунок 3), направленными вдоль выбранных осей координат.

5Составить уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор.

6Проверить правильность найденных опорных реакций по уравнению, которое не было использовано для решения задачи.

Пример 2Определить реакции опор балки (рисунок3).

Решение:1Изобразим балку с действующими на неё нагрузками (рисунок3).

2Изображаем оси координат х и у.

3Силу Fзаменяем ее составляющими F_x=F·cosαиF_y=F·sinα.

Равнодействующая q·CDравномерно распределенной нагрузки приложена в середине участка CD, в точкеК(рисунок3).

4Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями

(рисунок3).

5Составляем уравнения равновесия статики и определяем неизвестные реакции опор.

Из уравнения суммы моментов всех действующих на балку сил, составленного относительно одной из точек опор, сразу определяем одну из неизвестных вертикальных реакций:

Σm_А= F_у · AB + М + q·CD·AK-RD·AD=0

Определяем другую вертикальную реакцию:

Σm_D= R_Ау·AD - F_y· BD + M - q·CD ·KD=0

Определяемгоризонтальнуюреакцию:

ΣX_i= R_AX -Fx = 0 ;R_AX= F_x= F·cosα = 20 · 0,866= 17,3 кН

6 Проверяем правильность найденных результатов:

ΣYi= R_Ay– F_y -q·CD + R_Dy=5,5-10-1·2 + 6,5 =0

Условие равновесия ΣY_i=0 выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.

Задачи 11 — 20 Определить реакции опор двухопорной балки (рис. 4). Данные своего варианта взять из табл. 3.

ТаблицаЗ

 

№ задачи; № схемы на рис. 4	Вариант	q, Н/м	F, Н	М, Н·м
18; 8		6,5

 

Рисунок 4

Третья задача (задачи 21-30)может быть решена учащимися, если они будут ясно представлять смысл условия прочности при растяжении (сжатии)

σ=N/A≤[σ], где [σ]—допускаемое напряжение.

Необходимо знать, что исходя из условия прочности можно решатьтри вида задач:

1) проверка прочности σ = N/A≤[σ]

2) проектный расчет (подбор сечения) [A]≥N/[σ]

3) определение допускаемой нагрузки [N]≤A· [σ]

В задачах21-25рассматриваются стержневые системы, работающие на растяжение и сжатие, для которых необходимо выполнить проектный расчет, а также оценить прочность выбранного стандартного сечения стержня. Стержни имеют одинаковые поперечные сечения.

Последовательность решения задачи:

1Определить реакции стержней, используя уравнения равновесиядля плоской системы сходящихся сил и проверить правильность найденныхреакций.

2Для наиболее нагруженного стержня, используя условие прочности
σ=N/A≤[σ], выполнить проектный расчет [A] ≥N/[σ], определить
площадь поперечного сечения стержня,подобрать по сортаменту (ГОСТ 8509—72) подходящий номер профиля и найти стандартное значение площади поперечного сечения стержня.

3 Определить процент пере- или недогрузки наиболее нагруженногостержня, используя условие прочности σ=N/A≤[σ]], при принятыхстандартных размерах площади поперечного сечения.

∆σ=σ-[σ]/[σ]·100%.Допускается недогрузка до 15% и перегрузка до 4%.

Пример 3 Для данной системы двух стержней одинакового поперечного сечения, нагруженных силой F= 170 кН (рисунок 5), определить: а) требуемую площадь поперечных сечений стержней, состоящих из двух равнобоких уголков, и подобрать по ГОСТу (см. приложение II) соответствующий профиль уголка;

б) определить процентпере- или недогрузки наиболее нагруженного стержня при принятых стандартных размерах сечения, приняв [σ] =140 МПа.

Рисунок5

 

Решение:1В данном примере в шарниреСприложена система сходящихся сил. Определяем силы N₁и N₂в стержнях 1 и 2 (рисунок5, а), используя уравнения равновесия ΣХ=0 и ΣY=0.

ΣX=-N_1·sin30°+N₂·sin45°=0 (l)

ΣY= N₁· cos30°+ N₂· cos45°=0 (2)

Из(1):

N₁ = N₂·sin45°/ sin30° =N₂· 0,707 / 0,5=1,41 (3)

Подставляемвуравнение (2) выражение (3) иполучаем1,41N₂·cos30°+N₂·cos45° -F= 0

N₂=F/1,41 - cos30°+cos45^o=170/(1,41·0,866 + 0,707)=88,3kH

N₁=l,41·N₂= 1,41·88,3= 124 кН

2 Определяем требуемую площадь поперечного сечения для наи­более нагруженного стержня:

N_max=N₁=124,5кН

A_l=N₁/[σ]=124,5 • 10³/ 140=889 мм² = 8,89 см²

Площадь равнобокого уголка подбираем по значению A₁/2 = 8,89/2 = 4,445 см². Используя приложение 2, назначаем профиль(L63X63X4)с площадью [А] =4,96 см². Таким образом, требуемая площадь поперечного сечения стержней будет равна: 2·[А] =2·4,96 = 9,92 см².

Рабочее напряжение в поперечном сечении наиболее нагруженного стержня:

σ=N₁/2·[A]=124,5·l0³/2·4,96·10²=125,5Н/мм²=125,5 МПа

3Проверяем прочность наиболее нагруженного стержня:

∆σ =σ -[σ]/[σ]·100%=125,5 -140/ 140·100%=-10,3%

Недогрузка составляет 10,3 %,что допускается.

Задачи 21-25 Задана система двух стержней, составленных из двух равнобоких уголков (рис. 6, схемы 1–5).

При заданном значении силы Fопределить: 1) требуемые площади поперечных сечений стержней и подобрать по ГОСТ 8509-2 (см. приложение 2) соответствующие номера профилей; 2) определить процент пере- или недогрузки наиболее нагруженного стержня при принятых стандартных размерах сечения. Принять

[σ] = 160 МПа. Данные своего варианта взять из табл. 4.

 

 

Таблица 4

 

 

 

 

№	задачи; № схемы	F	№ задачи; № схемы
	на рис. 6		на рис. 6		a	b
21;1	22; 2	23 ;3	24; 4	25;5		26; 6	27; 7	28;8	29; 9	30;10
	Варианты		кН	Варианты		м	м
											0,5	1,5
											1,2	1,8
											0,6	2,4
											0,8	2,2
											1,5
											0,4	2,1
											0,5
											1,4	1,6
												2,3
											0,7	1,8

 

 

Рисунок 6

В задачах 26-30рассматривается система трех стержней одинакового поперечного сечения, поддерживающих абсолютно жесткую балку. Для наиболее нагруженного стержня следует найти допускаемое значение силы F, которая приложена к данной системе.

Последовательность решения задачи:

1Определить силы в стержнях, используя уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, и сделать проверку правильности найденных реакций.

2Определить допускаемое значение силы, нагружающей систему, используя условие прочности ∆σ =N/A≤[σ] =>

[N]≤A·[σ]. Стандартное значение площади равнобокого уголка, заданного в условии задачи, взять по ГОСТу 8509—72 из приложения 2.

Пример 4Абсолютно жесткая балка (рисунок7,а)поддерживается тремя стержнями одинакового поперечного сечения, представляющего собой два равнобоких уголка с размерами 40х40х4. Определить допускаемое значение силы F, если [σ] =[160] МПа. Весом балки пренебречь.

а)

 

 

Рисунок 7

 

Решение: 1 Выбираем расчетную схему (рисунок7, б), представляющую собой плоскую стержневую систему, для которой следует определить силы в стержне,используя уравнения равновесия произвольной плоской системы сил.

ΣM_D= N₁·BD–F·AD= 0 (1)

Σ X=N₂·sin30º-N₃ ·sin45° = 0(2)

Σ M_B=-F ·AB+ N₂·cos 30°·BD+ N₃·cos 45°·BD=0(3)

Из(1):

N₁ =F· AD/ BD=F·3/2=1,5F (4)

Из (2)

N₂= N₃· sin45°/ sin30°= N₃·0,707/ 0,5= 1,41 N₃(5)

В уравнение (З) подставляем вместо N₂выражениеN₂=1,41N₃

-F· AB= 1,41N₃·cos30°·BD+ N₃·cos45°·BD= 0 (6)

Из (6)

N₃=F· AB/ l,41cos30°·BD+ cos45° = F·1/1,41·0,866·2+ 0,707·2=0,26 F(7)

Подставляя (7) в (5), получаем:

N₂=1,41N₃ = 1,41·0.26F = 0,366F

Проверяем правильность реакций N₁, N₂, N₃

Y= - F –N₂·cos30°-N₃·cos45° + N₁= -F- 0,366 ·0,866F-0,26·0,707F+l,5F =0

Y=0, следовательно, реакции стержней определены верно.

2Так как все три стержня по условию имеют одинаковое поперечное сечение (рисунок7. а), то допускаемое значение силы Fопределяем для наиболее нагруженного стержня, каким является стержень 1.

σ =N/A≤[σ] => [N]≤A·[σ]

Следовательно, N_max= N₁ = 1,5F

Исходя из условия прочности [N] = 1,5F= [σ]·2А и учитывая, что площадь равнобокого уголка 40x40x4, А= 3,08см² (см. приложение 2), получаем значение допускаемой силы

F=[σ]·2A/1,5=160·2·3,08· 10²/1,5= 65800Н = 65,8 кН

 

Задачи 26-30 Задана система трех стержней, поддерживающих абсолютно жесткую балку (рис. 6, схемы 6—10). Стержни имеют одинаковое поперечное сечение, состоящее из двух равнобоких уголков заданных размеров.

Оределить допускаемое значение силы F, приняв [σ]= 160 МПа. Весом балки пренебречь. Данные своего варианта взять из табл. 4.

 

Четвертая задача (задачи 31-40)К решению этой задачи следует приступить после изучения темы"Изгиб". Изгиб — это такой вид нагружения

бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. В большинстве случаев одновременно с изгибающими моментами возникают и поперечные силы; такой изгиб называют поперечным: если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым. Изгибающий момент М_ив произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно центра тяжести сечения: М_и=Σm. Поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на отсеченную часть: Q= ΣF. Причем все внешние силы и моменты действуют в главной продольной плоскости бруса и расположены перпендикулярно продольной оси бруса.

Правило знаков для поперечной силы:силам, поворачивающим отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки, приписывается знак плюс (рисунок8, а), а силам поворачивающим отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения против хода часовой стрелки, приписывается знак минус (рисунок8,6).

Правило знаков для изгибающих моментов: внешним моментом изгибающим мысленно закрепленную в рассматриваемом сечении отсечённую часть бруса выпуклостью вниз, приписывается знак плюс (рисунок9, а), а моментам, изгибающим, отсеченную часть бруса выпуклостью вверх, — знак минус

(рисунок9,б).

Между изгибающим моментом М_x.поперечной силой Q_yи интенсивностью распределенной нагрузки qсуществуют дифференциальные зависимости:

dM_x/dz=O_v; DQ_v/dz=q

На основе метода сечений и дифференциальных зависимостей устанавливается взаимосвязь эпюр М_xи Q_y, между собой и с внешней нагрузкой, поэтому достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями. Характерными являются сечения балки, где приложены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сечения), а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой.

 

 

Рисунок 8 Рисунок 9

 

Приведем некоторые правила построения эпюр.

Для эпюры поперечных сил:

1На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изображается прямой, наклоненной к оси балки.

2На участке, свободном от распределенной нагрузки, эпюра изображается прямой, параллельной оси балки.

3В сечении балки, где приложена сосредоточенная пара сил, поперечная сила не изменяет значения.

4В сечении, где приложена сосредоточенная сила, значение поперечной силы меняется скачкообразно на значение, равное приложенной силе.

5В концевом сечении балки поперечная сила численно равна сосредоточенной силе (активной или реактивной), приложенной в этом сечении. Если в концевом сечении балки не приложена сосредоточенная сила, то поперечная сила в этом сечении равна нулю.

Для эпюры изгибающих моментов:

1На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается квадратичной параболой. Выпуклость параболы направлена навстречу нагрузке.

2На участке, свободном от равномерно распределенной нагрузки, эпюра моментов изображается прямой линией.

3В сечении балки, где приложена сосредоточенная пара сил, изгибающиймомент меняется скачкообразно на значение, равное моменту приложеннойпары.

4 Изгибающий момент в концевом сечении балки равен нулю,если в нем не приложена сосредоточенная пара сил. Если же в концевом сечении приложена активная или реактивная пара сил, то изгибающий момент в сечении равен моменту приложенной пары.

5На участке, где поперечная сила равна нулю, балка испытываетчистый изгиб, и эпюра изгибающих моментов изображается прямой, параллельной оси балки.

6 Изгибающий момент принимает экстремальное значение в сечении, где эпюра поперечных сил проходит через нуль, меняя знаки с "+" на "-" или с "-"на"+".

В рассматриваемой задаче требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, а также подобрать размеры поперечного сечения балки, выполненной из прокатного профиля -двутавра.

Условие прочности для балок с сечениями, симметричными относительно нейтральной оси, имеет вид:

σ_max=M_Xmax./W_x≤[σ],

где W_x— осевой момент сопротивления сечения.

Для подбора сечения балки (проектного расчета) из условия прочностиопределяют необходимое значение осевого момента сопротивления:W_x≥M_Xmax/[σ].

По наибольшему моменту сопротивления W_x, подбирают соответствующее сечение по сортаменту (см. приложение 1).

Для закрепленной одним концом балки строить эпюры целесообразно со свободного конца (чтобы избежать определения опорных реакций в заделке).

Последовательность решения задачи:

1 Балку разделить на участки по характерным сечениям.

2Определить вид эпюры поперечных сил на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить поперечные силы в характерных сечениях и построить эпюру поперечных сил.

3Определить вид эпюры изгибающих моментов на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить изгибающие моменты в характерных сечениях и построить эпюру изгибающих моментов.

4Для данной балки, имеющей по всей длине постоянное поперечное сечение, выполнить проектный расчет, т. е. определить W_xв опасном сечении, где изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение.

Пример 5Для заданной консольной балки (поперечное сечение-двутавр, [σ]=160МПа) построить эпюры Q_yи М_xи подобрать сечение по сортаменту.

Решение:1Делим балку на участки по характерным сечениям А, В, С (рисунок7, а).

2Определяем значения поперечной силы Q_yв характерных сечениях и строим эпюру (рисунок10,б):

Рисунок 10

 

3Определяем значения изгибающего момента М_х в характерных сеченияхи строим эпюру (рисунок10, в):

Ма=0

М^пр_В=F₂·AB= 1·3=3 кН·м

М^лев_В= F₂·AB+M=1·3+12=15 кН·м

М^прс= F₂·AC+M- F1·BC=l·5+12-2·2=13 кН·м

4 Исходя из эпюры М_х (рисунок8, в)
М_хтах= 15 кН·м= 15·10⁶Н·мм

W_х =М_хтах/ [σ]=15·10⁶/ 160= 93700 мм³ = 93,7 см³

В соответствии с ГОСТ 8239—72 выбираем двутавр № 16, W_x= 109 см³ (см. приложение 1).

Тогда

σ = 15·10⁶/ 109·10²= 136,7 МПа

Определяем процент загрузки:

∆σ=136,7-160 /160 ·100%= -14% недогрузки, что допускается.

Задачи 31 - 40 Для стальной балки, жестко защемленной одним концом и
нагруженной, как показано на рис. 11 (схемы 1—10), построить эпюры
поперечных сил и изгибающих моментов. Определить из условия прочности
необходимый размер двутавра, считая [σ] = 160 МПа. Данные своего варианта
взять из табл. 5.

 

Таблица 5

 

•№зада-чи; № схе­мы на рис. 11	Вари-ант	F1	F2	М
		кН	кН • м
37,7
		1,5	2,5

Рисунок 11

 

Пятая задача (задача 41 — 50) Для того чтобы решить пятую задачу, необходимо внимательно изучить тему "Изгиб", методические указания к задаче 4, а также приведенный далее пример.

Последовательность решения задачи та же, что и четвертой. Отличие лишь в том, что пятую задачу начинают решать с определения реакций опор балки и проверки правильности найденных реакций.

Пример 6Для заданной двухопорной балки (рисунок12, а) определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и определить размеры поперечного сечения (h,b,d)вформе прямоугольника или круга, приняв для прямоугольника h/b= 1,5. Считать [σ] = 160 МПа.

Решение:1Определяем опорные реакции и проверяем их найденные значения:

М_D= 0; M_D= -M₁+F₂·CD + M₂+R_В·BD-F1 ·OD=0

R_B= M₁ - F₂·CD+F₁·OD/BD=(20-30· 10+18· 15)/ 10=10кН

M_В=0; M_В=F₁·OB+M₂-F₂·BC-R_D·BD-M₁=0

Rd= (-F₁·OB+M₂–F₂·ВС-M₁)/BD=(-18-5+10-30· 4-20)/10=-22кН

Так как реакция R_Dполучилась со знаком минус, то изменяем ее первоначальное направление на противоположное. Истинное направление реакции R_D- вниз (рисунок12, б).

Проверка: Y₀= -F+ R_B +F₂ -R_D = -18+ 10 + 30 - 22 = 0. Условие статики

Y_i= 0 выполняется, следовательно, реакции опор определены верно. При построении эпюр используем только истинные направления реакций опор.

2Делим балку на участки по характерным сечениям О, В, С, D(рисунок12,6).

3 Определяем в характерных сечениях значения поперечной силы Q_vи строим эпюру слева направо (рисунок 12, в):

Q^npo= -F₁=-18кН

Q^ле_B= -F₁= -18кН

Q"^pb= - F₁ +R_B= -18 + 10 = -8кН

Q^левс = -F₁ + R_В + F₂ = -18+10+30=22кН

Q^лев_D= - F₁ + R_B+F₂= 22кН

4 Вычисляем в характерных сечениях значения изгибающего момента М_хи строим эпюру (рисунок 12, г):

Мо = 0

М_В = - F₁·АВ =- 18·5= - 90кН·м

M^лев_с=- F₁·ОС+ R_B·BC= -18·9+10·4=-122кН·м

M^прс =.-F_1·ОС + R_B·BC + М₂=-18·9+10·4+10= -112 кН·м

M^лев_с =- F₁·OD+ R_B·BD+ М₂ +F₁·CD= -18·15+10·10 + 10 + 30·6=20 кН·м

 

5 Вычисляем размеры сечения данной балки из условий прочности на изгиб по двум вариантам: а) сечение – прямоугольник с заданным соотношением сторон (рисунок 12, е); б) сечение – круг (рисунок 12, д). Вычисление размеров прямоугольного сечения:

 

 

 

 

Рисунок 12

Задачи 41-50 Для заданной двухопорной балки (рис. 13, схемы 1 —10)

определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать из условия прочности размеры поперечного сечения прямоугольника (задачи 41,43,45,47,49) или круга (задачи 42,44,46,48,50), приняв для прямоугольника h= 2b. Считать [σ] =150 МПа, данные своего варианта взять из табл. 6.

 

Таблица 6

 

№ за-дачи;	Вари ант	F1	F2	М
		кН	кН·м
№схе-
мы на
рис.13
46;6

 

 

Рисунок 13