Частоту и период колебаний системы.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «АВТОМОБИЛИ»

С.Н. Синицын

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ

Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения направления 190100.62, 190109.65

Курган 2013

Задача 1

Определить эквивалентную жесткость упругих элементов консервативной колебательной системы без затухания и частоту собственных колебаний системы.

Вариант исходных данных выбирается по предпоследней цифре зачетки, а номер схемы – по последней цифре зачетки. Например, если зачетка заканчивается на 46, то выбираем вариант 4, схему 6.

Варианты исходных данных:

Номера схем:

Указания по решению задачи:

Жёсткостью пружины с называется отношение силы F, приложенной к пружине, к деформации пружины s, вызванной этой силой. Для винтовой цилиндрической пружины жёсткость рассчитывается по формуле:

c = G∙d⁴/(8∙n∙D³),

где G – модуль сдвига [Н/м²], для стали G=90×10⁹ Н/м²;
d – диаметр проволоки [м];
n – число витков;
D – диаметр пружины [м].

Единица измерения жёсткости в системе СИ – Н/м.

Рис.1. Схемы соединения пружин

Общий коэффициент жёсткости подвеса для схем с последовательным соединением пружин (рис. 1, а): найдём, исходя из следующих положений. Каждая пружина нагружена одним и тем же весом, и удлинение каждой в отдельности пружины равно λ₁=m·g/c₁ и λ₂=m·g/c₂. Полное статическое перемещение груза составит:

λ_ст=λ₁+λ₂=m·g/c₁+m·g/c₂=m·g·(1/c₁+1/c₂)=m·g·[(c₁+c₂ )/c₁·c₂]

По определению жёсткость пружины для эквивалентной системы равняется c=m·g/λ_ст, тогда для последовательного соединения:

При параллельном соединении пружин (рис. 1, б) исходим из того, что каждая пружина должна изменять свою длину на одинаковую величину. В результате чего имеем:

λ_ст=λ₁=λ₂=m·g/c

Вес распределён по пружинам как m·g=F_упр1+F_упр2. Восстанавливающие силы в пружинах 1 и 2 соответственно равны: F_упр1=c₁·λ_ст; F_упр2=c₂·λ_ст. И также m·g = c·λ_ст. Следовательно:

c·λ_ст = c₁·λ_ст+c₂·λ_ст

Окончательно эквивалентная жёсткость параллельно соединённых пружин равна сумме их жёсткостей:

Эквивалентную жёсткость для системы пружин смешанного типа (последовательно-параллельного), изображённой на рис. 1, г, находят с помощью формул (1) и (2). Сначала вычисляют для пружин жёсткостью c₁ и c₂ их эквивалентную жёсткость c_1эк по формуле (1), также для второй пары пружин c ₃ и c ₄ – c_2эк . Затем через найденные значения c_1эк и c_2эк по формуле (2) находят эквивалентную жёсткость всей системы.

Для консервативной системы без затухания частота собственных колебаний находится по формуле:

, [Гц]

Задача 2

На рисунке 2 представлена система балки с грузом и присоединённым жидкостным демпфером. Демпфер присоединён нарасстоянии l₂ от шарнира О. Демпфирование принять линейным, то есть пропорциональным скорости колебаний F_сопр=h·v, где h – коэффициент линейного вязкого сопротивления; v–колебательная скорость.

Определить:

Частоту и период колебаний системы.