Свойства преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа

 

 

Оригинал. Показатель роста. Изображение. Свойства преобразования Лапласа. Дифференцирование и интегрирование оригинала. Дифференцирование и интегрирование изображения. Теоремы запаздывания и смещения. Свертка функций. Теорема Бореля. Формула Дюамеля. Операционный метод решения дифференциальных уравнений

 

Операционное исчисление – это раздел функционального анализа, в котором рассматривается специальный операционный метод решения различных математических задач. Основу этого метода составляет идея интегрального преобразования, переводящего функцию   действительного переменного t в функцию  комплексного переменного р.

Пусть функция  обладает следующими свой­ствами:

 при t <0

при t >0, где M >0 и - некоторые действительные постоянные.

 3)   На любом конечном отрезке [а, b] положительной полуоси Ot функ­ция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т. е.:  

а) ограничена;

б) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек конечного разрыва  

в)  имеет конечное число экстремумов.

Такие функции в операционном исчислении называются  оригиналами.

Пусть — комплексный параметр, причем . При сформулированных условиях интеграл

 сходится и является функцией от  р:

                

Этот интеграл называется  интегралом Лапласа,  а определяемая им функция комплексного аргумента р называется преобразованием Лапласа от функции ,  лапласовым изображением ,или просто,  изображением . Тот факт, что функция  является изображением оригинала , обозначают так:

В дальнейшем изложении запись  будет означать, что

Пример 1. Найти изображение оригинала

Решение.

~ ~ ~

Свойства преобразования Лапласа

1. Однородность.   При умножении оригинала на комплексное число изображение также умножается на это число:

Пример 2 . Найти изображение оригинала

Решение.  Используя результат примера 1  и свойство однородности, получаем:

Пример 3. Найти изображение оригинала

Решение.   По определению

~

~ ~

~ ~ ~

~ ~

~ ~

Пример 4. Найти изображение оригинала

Решение.  По определению

~

 

2. Аддитивность. Изображение суммы оригиналов равно сумме изображений этих оригиналов:

Пример 5. Найти изображение оригинала

Решение. Из теории функций комплексного переменного известно, что

где - мнимая единица. Следовательно, в силу свойств однородности и аддитивности, а также с учетом примера 4, получаем

3. Подобие.  Если , то справедлива формула:

Пример 6. Найти изображение оригинала

Решение.   Воспользуемся результатом примера 5  и свойством подобия:

4. Дифференцирование оригинала.   Если  и  является оригиналом, то справедлива формула дифференцирования оригинала:

где

Пример 7. Найти изображение оригинала

Решение.   Воспользуемся результатом примера 5  и свойством формулой дифференцирования оригинала:

В общем случае, если  и   являются оригиналами, то справедлива формула:

где

 

5. Интегрирование оригинала.     Если , то справедлива формула:

Пример 8. Найти изображение оригинала

Решение.   Воспользуемся примером 1 и свойством интегрирования оригинала:

 

6. Дифференцирование изображения.  Если , то справедлива формула:

Пример 9.  Найти изображение оригинала

Решение.   Воспользуемся примером 8 и свойством дифференцирования изображения:

Таким образом,

7. Интегрирование изображения.  Если  и  является оригиналом, то справедлива формула:

Пример 10. Найти изображение оригинала

Решение.     Из примеров  1, 4  следует, что

Значит, по свойству интегрирования изображения

 ~ ~

~

Итак,

 

8. Запаздывание. Если , то справедлива формула:

Пример 11. Найти изображение оригинала

Решение.     Из примеров 1, 4  следует, что

 

9. Смещение.    Если , то справедлива формула:

Пример 12. Найти изображение оригинала

Решение.     Из примера 6  следует, что

По условию задачи . Следовательно, используя свойство смещения, получаем:

 

10. Предельные соотношения.    Если  и  является оригиналом, то справедливы формулы:

 

Свертка функций

 

Сверткой функций  и   называется функция

Свойства операции свертывания:

1. коммутативность

2. ассоциативность

3. дистрибутивность

 

Теорема Бореля.   Если  и , то

Другими словами, произведение изображений является изображением свертки их оригиналов

Пример 13. Найти свертку оригиналов

Решение.     Изображения данных оригиналов таковы:

На основании теоремы Бореля получаем

 

Теорема Дюамеля. Если оригиналы  и   непрерывно дифференцируемы на полупрямой [0, ∞), то справедлива формула:

Пример 14. Найти оригинал по изображению

Решение.     Из примера 4  следует, что

Пусть , , . Тогда по формуле Дюамеля

Из примера 13 вытекает, что

Таблица основных изображений

	f (t)	F(p)		f (t)	F(p)
1	1		7
2			8
3			9
4			10
5			11
6			12