Образец выполнения кр1
Задача 1. Дана функция z = cos2(2x – y). Требуется: 1) найти частные производные и ; 2) найти полный дифференциал dz; 3) показать, что для данной функции справедливо равенство: . Решение. 1) При нахождении считаем аргумент y постоянным: = (cos2(2x – y)) = 2cos(2x – y)(cos(2x – y)) = = 2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y) = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) – (y) ) = = – 2cos(2x – y)sin(2x – y)(2 – 0) = –sin(2(2x – y))2 = –2sin(4x – 2y). При нахождении считаем аргумент x постоянным: = (cos2(2x – y)) = 2cos(2x – y)(cos(2x – y)) = =2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y) = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) – (y) ) = = – sin(2(2x – y))(0 – 1) = = sin(4x – 2y). 2) По формуле (1) находим полный дифференциал функции: dz = = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy. 3) Найдем смешанные частные производные второго порядка. Для того чтобы найти дифференцируем по у: = = (–2sin(4x – 2y)) = [считаем x постоянным] = = – 2cos(4x – 2y)(4x – 2y) = – 2cos(4x – 2y)(0 – 2) = 4cos(4x – 2y). Для того чтобы найти дифференцируем по x: = = (sin(4x – 2y)) = [считаем y постоянным] = = cos(4x – 2y)(4x – 2y) = cos(4x – 2y)(4 – 0) = 4cos(4x – 2y). Получили: = 4cos(4x – 2y), = 4cos(4x – 2y) Ответы: 1) = –2sin(4x – 2y); = sin(4x – 2y); 2) dz = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy; 3) равенство выполнено. Задача 2. Найти частные производные , и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y e z – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0. Решение. Для F(x, y, z ) = 4x2 y e z – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x получаем: F = (4x2 ye z – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем y и z постоянными]= = 8x y e z + sin( x3 – z)3x2 + 3 = 8x y e z + 3x2sin( x3 – z) + 3; F = (4x2 y e z – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и z постоянными] = = 4x2 e z + 4y; F = (4x2 y e z – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и y постоянными] = = 4x2 y e z – sin (x3 – z). По формулам (2) находим частные производные: ; и по формуле (3) получаем: . Ответы: ; . Задача 3. Дана сложная функция z = ln(2t – x2y), где , . Найти полную производную . Решение. Используя формулу (4), получаем: Подставив в полученный ответ , , получим: Ответ: . Задача 4. Дана функция z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости X О Y: x = 0, y = –1, x + y = 2. Требуется: 1) найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D; 2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения. Решение. 1) Для наглядности процесса решения построим областьD в системе координат. Область D представляет собой треугольник, ограниченный прямыми x = 0, y = –1 и x + y = 2. Обозначим вершины треугольника: A, B, C (рис 1). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z сначала найдем все стационарные точки функции z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5, лежащие внутри области D (если они есть), и вычислим в них значения функции. Стационарные точки – это точки, в которых все частные производные 1-го порядка равны нулю: Решаем систему: Стационарная точка М(2, 0) (рис.1), но не является внутренней точкой области, поэтому значение функции в этой точке вычислим позже. Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D. Граница является кусочно-заданной, поэтому будем проводить исследование функции z (x, y) отдельно на каждом участке границы. а) На границе АВ выполняется x = 0 и функция z является функцией одной переменной: . Исследуем поведение z (y) по правилам нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке: стационарная точка на границе АВ: А(0, – 1); б) На границе АС выполняется у = –1 и функция z является функцией переменной х: . Исследуем поведение z (х): стационарная точка на границе АС: N(1,5, –1); в) На границе ВС выполнено x + y = 2, т.е. y = 2 – х и функция z является функцией одной переменной:
Исследуем поведение z (х): . Вычислим ординату стационарной точки: y = 2 – x = 0 стационарная точка М(2,0); . Сравнивая все найденные значения функции, выбираем среди них наибольшее и наименьшее значения функции в области D: . 2) Отметим на построенном ранее чертеже области D (рис. 1) точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения: В(0,2) и М(2,0). Ответы: 1) ; 2) рисунок 1. Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z = + xy – 5x3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2. Решение. Найдем частные производные функции z = f (x, y) = + xy – 5x3: (x, y) = ( + xy – 5x3) = – + y – 15x2; (x, y) = ( + xy – 5x3) = + x. Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности: z = + xy – 5x3 z0 = + (–1) 2 – 5 (–1)3 = 1. В точке М0(–1, 2, 1) значения частных производных: (М0) = – + 2 – 15(–1)2 = –15; (М0) = – 1 = –2. Пользуясь формулой (5) получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М0: z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y +4 15x + 2y + z + 10 = 0. Пользуясь формулой (6) получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М0: = = . Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали: = = .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (209)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |