Предполагается, что прямоугольная волна действует бесконечно долго.
Теоретические основы метода Акульшина
Применение для расчета переходных процессов в автоматических системах регулирования (АСР) метода обратного преобразования Лапласа, основанного на разложении изображения на сумму простых дробей, удобно для систем регулирования, не содержащих запаздывания. К сожалению, большинство промышленных систем характеризуется наличием запаздывания. Запишем передаточную функцию разомкнутой АСР с запаздыванием: . (1) Характеристический полином замкнутой АСР в этом случае является квазиполиномом: . (2) Как известно, квазиполином вида (2) имеет бесконечное, хотя и счетное множество корней, а разложение дроби на сумму простых приводит к бесконечному ряду. Помимо самой проблемы вычисления корней квазиполинома возникает задача усечения бесконечного ряда без потери точности вычислений. В замкнутых АСР, содержащих запаздывание, для расчета переходных процессов целесообразно применять частотные методы, не требующие вычисления корней характеристического полинома (квазиполинома). Одним из таких методов является метод Акульшина [1,2,3]. Суть метода Акульшина заключается в следующем. Вместо скачкообразного воздействия амплитуды (рис. 1) на вход системы подается сигнал в виде прямоугольной волны с периодом Т (рис. 2).
Предполагается, что прямоугольная волна действует бесконечно долго. Установившаяся реакция системы на входной сигнал также является периодическим сигналом и представляет собой последовательность откликов на каждый из входных импульсов (рис. 3 и 4).
Предположим, что период прямоугольной волны Т достаточно велик и удовлетворяет следующему условию: , (3) где – время полного затухания переходного процесса в системе. Это значит, что, например, к моменту времени реакция АСР на предыдущий импульс полностью затухает (рис. 3, 4). Другими словами, в момент времени в системе устанавливаются нулевые начальные условия. В таком случае реакция АСР на прямоугольную волну представляет собой последовательность чередующихся по знаку и сдвинутых по времени на переходных функций (реакций на положительные и отрицательные скачки импульсов). Поэтому для интервала времени можно записать , (4) где – переходная характеристика системы. Таким образом, на интервале времени реакция АСР на прямоугольную волну является ее кривой разгона, то есть совпадает с реакцией на скачкообразное воздействие с амплитудой . Это обстоятельство лежит в основе расчета переходной кривой. Применение в качестве входного периодического прямоугольного сигнала позволяет использовать для расчетов теорию рядов Фурье и частотные характеристики системы. Разложим прямоугольную волну в ряд Фурье. В результате получим ряд, содержащий нечетные гармоники:
(5) где – частота колебаний входных прямоугольных импульсов, – постоянная составляющая водного сигнала. Так как система линейна, то для нее справедлив принцип суперпозиции – реакция на сумму воздействий (5) равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности: . (6) В формуле (6) – реакция на постоянную составляющую, а – реакция на гармонику в разложении (5). Каждая гармоника входного сигнала частоты и амплитуды сигнала (5) , (7) проходя через линейное звено с амплитудно-фазовой характеристикой , усиливается по амплитуде в раз и получает фазовый сдвиг . Для входного сигнала, определяемого формулой (5), можно записать: , , (8) ………………………………………………..
.
Постоянная составляющая выходного сигнала определяется по формуле
, (9) где – коэффициент усиления, значение передаточной функции системы, амплитудно – частотной и вещественно –частотной характеристик, соответственно, при нулевом значении аргумента. Подставляя в формулу (6) выражения (8) и (9) получим выражение для выходного сигнала
= (10).
Формула (10) является основной для расчета переходного процесса. В некоторых случаях удобнее использовать другую форму записи уравнения (10). Для этого преобразуем следующим образом выражение под знаком суммы
(11)
Переходя в (11) к вещественной и мнимой частотным характеристикам
= , (12) получим
. (13)
Подставляя теперь последнее выражение в формулу (10), получим другое выражение для переходной кривой
. (14) При практических расчетах в формулах (10) и (14) ограничиваются конечным числом гармоник. В результате формулы принимают вид:
(15) и , (16) соответственно. Практика показала, что во многих случаях достаточно пятидесяти гармоник . (17) Для построения переходного процесса, как правило, достаточно 24 точек, поэтому при расчетах шаг по времени выбирается по формуле . (18) Количество точек, естественно, может быть и увеличено.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (461)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |