Уравнения с одной переменной.
Линейные уравнения и неравенства Романишина Дина Соломоновна, учитель математики гимназии №2 г. Хабаровска Уравнения с одной переменной. Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)=4х-1. Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 2х+5=8х-1. Уравнение х2+1=0 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (х+3)(х-4) =0 имеет два корня: х1= -3, х2=4. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х=10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню. При решении уравнений используются следующие свойства: Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Уравнение ах=b, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной. Если а¹0, то уравнение имеет единственное решение . Если а=0, b=0, то уравнению удовлетворяет любое значение х. Если а=0, b¹0, то уравнение не имеет решений, т.к. 0х=b не выполняется ни при одном значении переменной.
Пример 1. Решить уравнение: -8(11-2х)+40=3(5х-4) Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим: 16х-15х=88-40-12 х=36 Ответ: 36. Пример 2. Решить уравнения: 3х2-5х=0; х3-2х2-98х+18=0; х2+7х+12=0. Эти уравнения не являются линейными, но покажем, как можно решать такие уравнения. 3х2-5х=0; х(3х-5)=0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, получаем х1=0; х2= . Ответ: 0; . Разложить на множители левую часть уравнения: х2(х-2)-9(х-2)=(х-2)(х2-9)=(х-2)(х-3)(х-3), т.е. (х-2)(х-3)(х+3)=0. Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа х1=2, х2=3, х3=-3. с) Представим 7х, как 3х+4х, тогда имеем: х2+3х+4х+12=0, х(х+3)+4(х+3)=0, (х+3)(х+4)=0, отсюда х1=-3, х2=- 4. Ответ: -3; - 4.
Пример 3. Решить уравнение: ½х+1ç+½х-1ç=3. Напомним определение модуля числа: Например: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4. В данном уравнении под знаком модуля стоят числа х-1 и х+1. Если х меньше, чем –1, то число х+1 отрицательное, тогда ½х+1½=-х-1. А если х>-1, то ½х+1½=х+1. При х=-1 ½х+1½=0. Таким образом, Аналогично а) Рассмотрим данное уравнение½х+1½+½х-1½=3 при х£-1, оно равносильно уравнению -х-1-х+1=3, -2х=3, х= , это число принадлежит множеству х£-1. b) Пусть -1 < х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве. с) Рассмотрим случай х>1. х+1+х-1=3, 2х=3, х= . Это число принадлежит множеству х>1. Ответ: х1=-1,5; х2=1,5.
Пример 4. Решить уравнение:½х+2½+3½х½=2½х-1½. Покажем краткую запись решения уравнения, раскрывая знак модуля «по промежуткам».
-2 0 1 х х £-2, -(х+2)-3х=-2(х-1), - 4х=4, х=-2Î(-¥; -2] –2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0] 0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1] х>1, х+2+3х=2(х-1), 2х=- 4, х=-2Ï(1; +¥) Ответ: [-2; 0]
Пример 5. Решить уравнение: (а-1)(а+1)х=(а-1)(а+2), при всех значениях параметра а. В этом уравнении на самом деле две переменных, но считают х–неизвестным, а а–параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной х при любом значении параметра а. Если а=1, то уравнение имеет вид 0×х=0, этому уравнению удовлетворяет любое число. Если а=-1, то уравнение имеет вид 0×х=-2, этому уравнению не удовлетворяет ни одно число. Если а¹1, а¹-1, тогда уравнение имеет единственное решение . Ответ: если а=1, то х – любое число; если а=-1, то нет решений; если а¹±1, то .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (228)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |