Уравнения, используемые в моделях

 

О системах можно очень многое узнать даже без использования компьютера. Но раз уж вы изучили поведение простых систем (пусть даже очень простых), вы можете решить, что пора узнать, как строятся математические модели систем, чтобы построить собственную. Все модели, описанные в этой книге, изначально строились с помощью специального программного обеспечения STELLA , созданного компанией isee systems Inc. (раньше она называлась High Performance Systems). Уравнения, приведенные в этой главе, записаны таким образом, чтобы их было несложно перевести в любое программное обеспечение, предназначенное для моделирования — например, в систему Vensim компании Ventana Systems Inc. или программные пакеты STELLA и iThinh компании isee systems Inc.

Перечисленные дальше уравнения — это именно те формулы, что применялись в девяти динамических моделях из первой и второй глав. «Преобразование» может производиться просто как выбор константы либо пред* ставлять собой расчет на основе других элементов модели. Во всех формулах t означает время, а шаг от одного этьпн расчета к следующему, то есть временной интервал, обозначается как dt.

 

Глава 1

 

Уровень воды в ванне (к рис. Ь, 6 и V)

Запас:

вода в ванне(t) =

= вода в ванне (t - dt) + (вх. поток — вых. поток) • dt

Начальная величина запаса:

вода в ванне = 50 л

Время t измеряется в минутах

Интервал dt = 1 мин

Продолжительность расчета —10 мин

Входной поток:

вх. поток = 0 л/мин для значений времени от 0 до 5 мин

или

вх. поток = 5 л/мин для значений времени от 6 до 10 мин

Выходной поток:

вых. поток = 5 л/мин

Остывание или нагрев кружки с кофе (к рис. 10 и 11)

Остывание

Запас:

температура кофе(t) =

= температура кофе(t — dt) — остывание в ед. времени • dt

Начальная величина запаса:

температура кофе = 100 °С, 80 °С, 60 °С для трех разных расчетов модели

Время t измеряется в минутах

Интервал dt = 1 мин Продолжительность расчета = 8 мин

Выходной поток:

остывание в ед. времени = разность температур * 10%

Преобразования:

разность температур =

= температура кофе - комн. температура комн. температура = 18 °С

Нагрев

Запас:

температура кофе(t) =

= температура кофе(t — dt) + нагрев в ед. времени * dt

Начальная величина запаса:

температура кофе = 0 °С, 5 °С, 10 °С для трех разных расчетов модели

Время t измеряется в минутах

Интервал dt = 1 мин

Продолжительность расчета = 8 мин

Входной поток:

нагрев в ед. времени = разность температур * 10%

Преобразования:

разность температур =

— комн. температура — температура кофе

комн. температура = 18 °С

Сумма на банковском счете (к рис. 12 и 13)

Запас:

сумма на счете(t) =

= сумма на счете(t — dt) + начисл. проценты * dt

Начальная величина запаса:

сумма на счете = 100 долларов

Время t измеряется в годах

Интервал dt = 1 год

Продолжительность расчета = 12 лет

Входной поток:

начисл. проценты (долларов/год) =

= сумма на счете • проц. ставка

Преобразование:

проц. ставка == 2%, 4%, 6%, 8%, 10% годовых для пяти разных расчетов модели

Глава 2

Термостат (к рис. 14-20)

Запас:

комн. температура(t) = комн. температура(t - dt) + (тепло от обогревателя - утечки тепла) *dt

Начальная величина запаса:

комн. температура — 10 °С для случая с нагревом холодного помещения

комн. температура —18 °С для случая с нагревом обычного помещения

Время t измеряется в часах

Интервал dt = 1 час

Продолжительность расчета - 8 ч, 24 ч

Входной поток:

тепло от обогревателя — разность между желаемой и фактической температурой в помещении либо 5 °С, в зависимости от того, что меньше

Выходной поток:

утечки тепла — разность между температурой внутри и снаружи - 10% для дома с обычной теплоизоляцией или

утечки тепла — разность между температурой внутри и снаружи - 30%, если в доме плохая теплоизоляция

Преобразования:

настройка термостата - 18 °С

разность между желаемой и фактической температурой в помещении — 0 или ~ (настройка термостата - комн. температура), в зависимости от того, что больше

разность между температурой внутри и снаружи -

— комн. температура - 10 °С при постоянной температуре на улице (рис. 16-18)

или

разность между температурой внутри и снаружи —

- комн. температура - температура на улице в течение суток (рис. 19 и 20);

 

температура на улице в течение суток варьируется от 10 °С (днем) до -5 °С (ночью), как показано ниже на графике.

 

Численность населения (к рис. 21-26)

 

Запас:

численность населения (t) = численность населения (t- dt) + (рождаемость — смертность) * dt

Начальная величина запаса:

численность населения = 6,6 млрд чел.

Время t измеряется в годах

Интервал dt = 1 год

Продолжительность расчета = 100 лет

Входной поток:

рождаемость = численность населения * коэф. рождаемости

Выходной поток:

смертность = численность населения * коэф. смертности

Преобразования:

К рис. 22:

коэф. смертности = 0,009 (9 чел. на тысячу)

коэф. рождаемости = 0,021 (21 чел. на тысячу)

К рис. 23:

коэф. смертности = 0,030 коэф. рождаемости = 0,021

К рис. 24:

коэф. смертности - 0,009

коэф. рождаемости = сначала 0,021, затем уменьшается до 0,009 согласно графику, показанному ниже

 

К рис. 26:

коэф. смертности = 0,009

коэф. рождаемости = сначала 0,021, затем уменьшается до 0,009, однако затем возрастает до 0,030 согласно графику, показанному ниже

 

Величина капитала (к рис. 27 и 28)

Запас:

капитал (t) =

= капитал (t — dt) + (инвестиции — амортизация) • dt

Начальная величина запаса:

капитал = 100

Время t измеряется в годах

Интервал dt = 1 год

Продолжительность расчета = 50 лет

Входной поток:

инвестиции = годовое производство * % реинвестирования

Выходной поток:

амортизация = капитал * срок службы капитала

Преобразования:

годовое производство =

= капитал - производство на ед. капитала

срок службы капитала — 10 лет, 15 лет, 20 лет для трех разных расчетов модели

% реинвестирования = 20%

производство на ед. капитала = 1/3

Автомобили на складе у дилера (к рис. 29-36)

Запас:

кол-во автомобилей у дилера (t) = кол-во автомобилей у дилера(t— dt) + (доставка от производителя — продажи) * dt

Начальная величина запаса:

кол-во автомобилей у дилера = 200

Время t измеряется в днях

Интервал dt = 1 день

Продолжительность расчета =100 дней

Входной поток:

достатка от производителя = 20 машин для значений времени от 0 до 5 дней

или

доставка от производителя = величина заказа производителю — запаздывание доставки) для значений времени от 6 до 100 дней

Выходной поток:

продажи = запросы заказчиков или = кол-во автомобилей у дилера, в зависимости от того, что меньше

Преобразования:

запросы заказчиков = 20 автомобилей в день для значений времени от 0 до 25 дней или

запросы заказчиков = 22 автомобиля в день для значений времени от 26 до 100 дней

ожидаемые продажи = продажи, усредненные за время запаздывания восприятия (то есть средние продажи за время = запаздывание восприятия)

желаемый запас на складе = ожидаемые продажи * 10

разность = желаемый запас на складе — кол-во автомобилей у дилера

величина заказа производителю = ожидаемые продажи + разность или = 0, в зависимости от того, что больше, для рис. 32 либо

величина заказа производителю = ожидаемые продажи + разность / запаздывание отклика или = 0, в зависимости от того, что больше, для рис. 34—36

Запаздывания, к рис. 30

запаздывание восприятия = 0

запаздывание отклика = 0

запаздывание доставки = 0

Запаздывания, к рис. 32

запаздывание восприятия = 5 дней

запаздывание отклика = 3 дня

запаздывание доставки = 5 дней

Запаздывания, к рис. 34

запаздывание восприятия = 2 дня

запаздывание отклика = 3 дня

запаздывание доставки = 5 дней

Запаздывания, к рис. 35

запаздывание восприятия = 5 дней

запаздывание отклика = 2 дня

запаздывание доставки = 5 дней

Запаздывания, к рис. 36

запаздывание восприятия = 5 дней

запаздывание отклика = 6 дней

запаздывание доставки = 5 дней

Невозобновимый запас препятствует использованию возобновимого запаса (крис. 37-41)

 

Запас:

ресурс (t) = ресурс(t - dt) - добыча • dt

Начальная величина запаса:

ресурс = 1000 для рис. 38, 40 и 41 или

ресурс = 1000, 2000, 4000 для трех разных расчетов мо дели на рис. 39

Время t измеряется в годах

Интервал dt = 1 год

Продолжительность расчета = 100 лет

Выходной поток:

добыча = капитал * добыча на ед. капитала

Запас:

капитал (t) = капитал (t — dt) + (инвестиции — амортизация) * dt

Начальная величина запаса: капитал = 5

Входной поток:

инвестиции = прибыль или = вложения в рост, в зависимости от того, что меньше Выходной поток:

амортизация = капитал / срок службы капитала

Преобразования:

срок службы капитала = 20 лет

прибыль = цена - добыча - капитал - 10% вложения в рост = капитал * 10% дпя рис. 30—39

или

вложения в рост — капитал * 6%, 8%, 10%, 12% для четырех разных расчетов модели на рис. 40 цена = 3 для рис. 38, 39 и 40

или

цена = 1,2, когда добыча на ед. капитала высока, затем возрастает до 10 при снижении добычи на ед. капитала (рис. 41); изменение цены показано на графике ниже (а) добыча на ед. капитала начинается со значения 1 , пока запас ресурса велик, но затем снижается до 0 по мере истощения ресурса; изменение добычи на ед. капитала показано на графике ниже (б)

 

 

Использованию возобновимых запасов препятствуют ограничения самих возобновимых запасов (к рис. 42-45)

Запас:

pecypc(t) = pecypc(t — dt ) — (возобновление — вылов) • dt

Начальная величина запаса: ресурс = 1000

Время t измеряется в годах

Интервал dt = 1 год

Продолжительность расчета =100 лет

Входной поток:

возобновление = ресурс * кoэф. возобновления

Выходной поток:

вылов = капитал • улов на ед. капитала

Запас:

капитал (t) = капитал(t - dt) + (инвестиции — амортизация) * dt

Начальная величина запаса:

капитал — 5

Входной поток:

инвестиции = прибыль

или

= вложения в рост, в зависимости от того, что меньше

Выходной поток:

амортизация = капитал / срок службы капитала

Преобразования:

срок службы капитала = 20 лет

вложения в рост = капитал • 10%

прибыль = цена • вылов — капитал • 10%

цена = 1,2, когда улов на ед. капитала высок, затем возрастает до 10 при снижении улова на ед. капитала. Изменение цены происходит по той же нелинейной зависимости, что и в предыдущей модели.

коэф. возобновления = 0, если ресурс еще не начал расходоваться или уже полностью истощен

 

 

 

Улов на ед. капитала

Улов на ед. капитала