Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек

Введение

 

В данной работе требуется решить математическую задачу двумя способами, один - это привычный для нас вариант, с помощью математических исследований, а второй - с помощью специального офисного приложения MS Excel. Для этого нам необходимо:

составить математическую модель задачи,

определить исследуемую функцию, зависящую от одной переменной,

построить график заданной функции с помощью графического редактора MS Excel,

исследовать функцию по общей схеме, найти критические точки,

найти решение задачи,

сделать вывод, сравнить полученные результаты.

 

Условие задачи

 

Кривая полных издержек имеет вид  (где х - объем производства). Рассчитать, при каком объеме производства средние издержки минимальны.

 

Математическая модель задачи

 

Целью любого производителя является максимизация прибыли. Главным препятствием к достижению этого является спрос на готовую продукцию и издержки производства.

Средние издержки - это издержки на единицу продукций.

Средние постоянные издержки (AFC) определяются путем деления суммарных постоянных издержек (TFC) на соответствующее количество произведенной продукций (Q).

 

AFC = TFC / Q

 

Так как постоянные издержки по определению не зависят от объема выпускаемой продукций, то и средние постоянные издержки будут уменьшаться с увеличением объема производства

Средние переменные издержки (AVC) определяются путем деления суммарных переменных издержек (TVC) на соответствующее количество произведенной продукций Q.

 

AVC = TVC / Q

 

AVC сначала падают, достигают своего минимума, а затем начинают расти. Такой наклон кривой объясняется законом убывающей доходности т.е. до четвертой единицы предельные издержки падают, следовательно и AVC так же будут падать, а начиная с пятой единицы как TVC так и AVC начинают возрастать.

Средние общие издержки (ATC) рассчитываются при помощи деления общих издержек TC на объем произведенной продукций Q или же соотношением AFC и AVVC для каждого из возможных способов производства.

 

ATC = TC / Q = AFC + AVC

 

Введем необходимые обозначения и составим исходную функцию от одной переменной.

Получим, что средние издержки будут вычисляться по формуле:

 

 

Т. е. исследуем функцию вида:

 

 

Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек

 

Воспользуемся общей схемой исследования функции.

 

 

1. Найти область определения

Областью определения будут числа больше 0, т.к объем производства должен быть положительным, т.е. . Получим, что

 

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

В нашем случае это невозможно, т.к , а решая квадратное уравнение вида  получаем мнимые корни (т.е. дискриминант меньше 0), следовательно, точек пересечения с осями координат нет.

3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых  или ). Координаты вершины параболы (3;

6), значит,  при , и  при .

4. Выяснить является ли функция четной, нечетной или общего вида.

Функция  является функцией общего вида, т.к

 

 

5. Найдите асимптоты графика функции.

Функция  не имеет вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.

6. Найдите интервалы монотонности функции.

Для этого найдем первую производную от заданной функции:

 

 

Решим уравнение вида:

 

 

Получим, что в точке  функция меняется, т.е. на промежутке  функция монотонно убывает, а на  возрастает.

7. Найти экстремумы функции.

Из пункта 6 следует, что точка  является критической, т. е экстремумом. Причем,  - точка минимума.

Найдем значение функции в критической точке:

 

 

8. Найти точки перегиба функции.

Для этого найдем вторую производную от заданной функции:

 

 

Производная второго порядка, целое постоянное число, значит, точек перегиба функция не имеет.

Таким образом, получим, что при объеме производства  средние издержки будут минимальными.