Математические модели автономных электрогидравлических следящих приводов

Схема ЭГСП первого типа дана на рис.1. Электродвигатель 1 приводит во вращение трехшестеренный насос 2, который создает потоки рабочей жидкости, направляемой к золотниковым плунжерам 3. В отсутствие подводимого от электронного усилителя сигнала  жидкость через окна, открытые золотниковыми плунжерами, поступает на слив. Вследствие равенства площадей окон разность давлений в полостях гидроцилиндра 4 равна нулю и поршень 5 вместе со штоком 6 неподвижны. При наличии сигнала в виде напряжения  на концах обмотки 7 электромеханического преобразователя (ЭМП) происходит поворот качалки 8 по или против часовой стрелки в зависимости от полярности сигнала. Поворот качалки вызывает перемещение золотниковых плунжеров, увеличивающих открытие одного окна и уменьшающих открытие другого. Соответственно давление в одной полости гидроцилиндра уменьшается, а в другой – увеличивается. Под действием силы, созданной разностью давлений в гидроцилиндре, поршень 5 перемещается до тех пор, пока сигнал  обратной связи от датчика 10 не уменьшит  до требуемого значения. Установленные на напорных магистралях насоса, предохранительные клапаны 9 ограничивают наибольшее повышение давления в гидроцилиндре.

В ЭГСП второго типа (рис 2) применен плоский золотник 1 и двухшестеренный насос 2 [4]. Переливной клапан 3 поддерживает постоянное давление в напорной магистрали насоса. При поступлении сигнала  в обмотки 4 ЭМП, золотник, закрепленный на упругой рамке, отклоняется от среднего положения, вызывая изменение давления в полостях гидроцилиндра. В остальном этот тип ЭГСП действует аналогично первому типу.

Математические модели обоих типов ЭГСП составим, используя общую методику математического описания таких динамических систем.

Для ЭГСП первого типа примем следующие допущения:

- вследствие малости технологических зазоров у золотниковых плунжеров утечки жидкости по ним можно не учитывать;

- зависимости подачи насосов от давления в напорных каналах линейные;

- гидродинамические силы, действующие на золотниковые плунжеры, и силы сухого трения в подвижных элементах пренебрежимо малы.

При указанных допущениях были получены перечисленные ниже уравнения.

Уравнение электрического сигнала ошибки

                                                  (1)

где  – входной сигнал при управлении ЭГСП.

Уравнение, описывающее преобразование сигнала в ЭУ

                       (2)

где  - напряжение на выходе ЭУ,  – коэффициент усиления ЭУ.

Уравнение напряжений в обмотках ЭМП

,                              (3)

где  – ток управления,  - сопротивление обмоток ЭМП,  - сопротивление выходного каскада электронного усилителя,  – индуктивность ЭМП,

Уравнение движения золотниковых плунжеров

,                                       (4)

где  – перемещение золотниковых плунжеров,  – постоянная времени узла управления (УУ),  - коэффициент относительного демпфирования УУ,  - коэффициент передачи УУ.

Коэффициент, связи угла поворота якоря ЭМП с перемещением золотниковых плунжеров

 ,                                              (5)

где  – плечо качалки УУ

Уравнение линеаризованной расходно-перепадной характеристики (рис 3)

 ,                                                   (6)

где – разность давлений в полостях нагруженного гидроцилиндра, коэффициенты  и  находят аппроксимацией расходно-перепадной характеристики (при различных положениях золотниковых плунжеров).

Уравнение баланса расходов при движении поршня гидроцилиндра

 ,                                (7)

где  – перемещение штока гидроцилиндра,  – модуль объемной упругости жидкости в гидроцилиндре, закрепленном на упругой опоре, – расход рабочей жидкости,  – рабочая площадь поршня, – объем одной полости гидроцилиндра при среднем положении поршня.

Уравнение движения управляемого приводом объекта

 ,                      (8)

где  – масса подвижных частей управляемого объекта, приведенная к штоку привода, – координата положения центра приведенной массы, измеряемая от среднего положения поршня,  – коэффициент трения в подвижных частях обекта, – жесткость связи штока гидроцилиндра с управляемым объектом, – “жесткость” позиционной нагрузки.

Уравнение сил, действующих на поршень гидроцилиндра

, .                                (9)

Уравнение сил, действующих на гидроцилиндр

,                                               (10)

где – жесткость опор гидроцилиндра, - перемещение гидроцилиндра.

Уравнение сигнала обратной связи, снимаемого при перемещении штока гидроцилиндра

,                                   (11)

где  – коэффициент позиционной обратной связи.

Уравнения (1) – (11) описывают математическую модель ЭГСП, их можно записать в нормальной форме Коши:

 

                                        (12)

Переменные и коэффициенты, входящие в систему уравнений (12), определяется по следующим соотношениям:

; ; ; ; ;

 Ом,  , Гн,

 c,  1/Ом,

    мм/А,  c, ,

, , , ,  В/м.

Начальные условия (t₀=0)

 

Для решения задачи был использован метод Рунге-Кутты с модификацией Мерсона, который позволяет эффективно решать подобные системы. Входное воздействие выбрано ступенчатым с  В.

Качество ЭГСП оценивалось по двум критериям, которыми служили:

1. Электрическая мощность, потребляемая электродвигателем в отсутствие управляющего сигнала на обмотках ЭМП, [Вт].

2. Характеризующий динамическую ошибку и продолжительность переходного процесса функционал

 ,

где  – принятое с учетом заданной точности управления конечное перемещение штока гидроцилиндра,  – перемещение штока гидроцилиндра в текущий момент времени.

Варьируемые параметры и границы их изменения приняты следующими:

- давление настройки предохранительного клапана - ,

пределы изменения давления 4,0 ≤  ≤ 8,0 МПа;

- коэффициент подачи насоса -  ,

пределы изменения коэффициента 1,1 ≤  ≤ 1,5;

- коэффициент давления (определяет какое давление будет в отсутствие управляющего сигнала на обмотках ЭМП) -  ,

пределы изменения коэффициента 0,1 ≤  ≤ 0,5.

Численные значения конструктивных параметров, используемые в численных экспериментах, определялись с помощью приведенных ниже формул.

Сила торможения штока гидроцилиндра принята согласно техническому заданию на проектирование ЭГСП равной

 Н                            (13)

Рабочая площадь поршня гидроцилиндра

                                                    (14)

Первое значение диаметра поршня гидроцилиндра при известном диаметре штока

                                         (15)

По полученному значению диаметра поршня назначается , наиболее близкое к значениям ряда нормальных размеров.

Площадь поршня гидроцилиндра:

                                        (16)

Наибольший расход жидкости, необходимый для работы ЭГСП, определяется геометрическими размерами гидроцилиндра и заданной скоростью поршня при минимальной нагрузке, поэтому: , где  – максимальная производительность насоса (в отсутствие нагрузки, действующей на шток гидроцилиндра),  – максимальная скорость поршня гидроцилиндра (в соответствии с техническим заданием).

При расчетах характеристик привода учитывалась механическая характеристика выбранного электродвигателя насоса и зависимость потребляемого тока от нагрузки на валу. Характеристика представлена уравнением:

 об/мин,                                  (17)

где - число оборотов вала электродвигателя, - момент на валу электродвигателя.

Электрический ток, потребляемый электродвигателем насоса:

 А                                             (18)

Теоретическая производительность насоса:

                                     (19)

Число зубьев шестерен насоса , модуль зубчатого колеса  м.

Ширина зубчатых колес шестеренного насоса определена по формуле:

                                         (20)

Ширина  принимается ближайшей из нормального ряда.

Уточненное значение удельной производительности насоса:

                                               (21)

Суммарная площадь дроссельных окон, открываемых золотниковым плунжером, определяется из соотношения:

                                               (22)

где - проводимость окон, равная:                   (23)

Площадь каждого из четырех дроссельных окон:

                                                                 (24)

Площадь дроссельного окна связана с перемещением золотника соотношением:

                    (25)

Коэффициенты  и  определяются по расходно-перепадной характеристике (Рис. 3).

Гидравлическая постоянная времени привода:

 ,                                                             (26)

где  – приведенная жесткость нагруженного гидроцилиндра

,                                  (27)

где  – приведенный модуль упругости гидроцилиндра

Механическая постоянная времени гидроцилиндра:

.

Постоянная времени демпфирования гидроцилиндра:

 .

Коэффициент относительного демпфирования гидроцилиндра:

 – объем полости гидроцилиндра при среднем положении поршня, здесь  м - ход поршня,

 м³ – объем подводящего трубопровода гидролинии и мертвого объема гидроцилиндра,

 [МПа] – модуль объемной упругости рабочей жидкости.

 –масса подвижных частей управляемого объекта, приведенная к штоку привода:

 кг, где

 Н м с² – момент инерции управляемого объекта относительно оси вращения,

 м – плечо управляемого объекта,

 Н с/м

 – жесткость крепления гидроцилиндра.

 Н/м – жесткость опоры гидроцилиндра,

 Н/м – жесткость связи штока с управляемыми органами объекта,

 Н/м – “жесткость” позиционной нагрузки.

                                                                               (28)

 Н/м

Значения исходных величин при численных испытаниях ЭГСП первого типа представлены в табл.1.

 

Значения параметров ЭГСП первого типа

Таблица 1

Исходная величина	обозн.	значение	размерн.
Диаметр штока		0,012	м
Диаметр поршня гидроцилиндра		0,037	м
Площадь поршня гидроцилиндра		9,6410-4	м2
Модуль зубчатых колес насоса:		0,001	м
Число зубьев зубчатых колес насоса		15
Ширина зубчатых колес насоса		0,0055	м
Удельная производительность насоса		5,1810-7	м3/об
Начальное открытие золотника		0,00036	м
Радиус отверстий в золотнике		0,00175	м
Число отверстий во втулке золотника		4
Давление настройки предохранительных клапанов:		4106	Па
Сопротивление обмоток ЭМП		200	Ом
Индуктивность обмоток ЭМП		2,5	Гн
Постоянная времени и коэффициент передачи электрической цепи ЭМП		0,0125	с
		0,005	А/В
Постоянные времени и коэффициенты механической части ЭМП		1000	мм/А
		0,004	c
		0,133
		1,510-5	м/рад
Коэффициенты линеаризованной расходно-перепадной характеристики (рис. 3)		0,292	м2/с
		6,4410-10	м5/сН
Объем полости гидроцилиндра при среднем положении поршня		1,6410-5	м3
Модуль объемной упругости рабочей жидкости		1250	МПа
Объем подводящего трубопровода и мертвый объем гидроцилиндра		510-6	м3
Гидравлическая постоянная времени привода		0,00331	с
Механическая постоянная времени и коэффициент демпфирования гидроцилиндра		0,0114	с
		0,36
		0,0158	с