Квадратичная производственная функция

Виды производственных функций

 

Рассмотрим 4 производственные функции:

1. Линейная модель (функция с взаимозамещением ресурсов), задается уравнением:

 

Y = a₀ + b₁K + c₁L,

 

где b₁, c₁ >0 – частные эффективности ресурсов (предельный физический продукт затрат)

2. Квадратичная модель, задается уравнением:

 

Y = a₀ + b₁K + c₁L + b₂K² + c₂L²

 

3. Модель Кобба-Дугласа, задается уравнением:

 

Y = AK^aL^b,

 

где А — коэффициент нейтрального технического прогресса; а₁, a₂ -коэффициенты эластичности по труду и капиталу.

4. Модель с учетом НТП, задается уравнением:

 

Y = AK^aL^be^r0t,

 

где  - специальный множитель технического процесса, r0 – параметр нейтрального НТП (r0 >0)

Параметры функции могут быть определены по методу наименьших квадратов

1. Для линейной модели:

Функция неувязок:

 

G =  = ® min по а₀, b₁, c₁

 

Производные по коэффициентам:

 

, где i = 1…n

 

приравниваем нулю

 

                                                    (1)

 

2. Для квадратичной модели:

Функция неувязок:

 

G =  = ® min по а₀, b₁, c₁, b₂, c₂

 

Производные по коэффициентам:

, где i = 1…n

 

приравниваем нулю

 

          (2)

 

3. Для модели Кобба-Дугласа:

Прологарифмируем функцию:

 

lnY = lnA + alnK + blnL

 

Функция неувязок:

 

G =  = ® min по A, a, b

 

Частные производные по коэффициентам:

, где i = 1…n

 

приравниваем нулю

 

 (3)

 

4. Для модели с учетом НТП:

Прологарифмируем функцию:

 

lnY = lnA + alnK + blnL + r0t

 

Функция неувязок:

 

G =  = ® min по A, a, b, r0

 

Частные производные по коэффициентам:

 

, где i = 1…n

 

приравниваем нулю

 

  (4)

 

Далее из полученных уравнений находим неизвестные коэффициенты

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Исходные данные для построения ПФ

 

Годы	Y, Валовая стоимость продукции, млн. руб.	K, Капитал, млн. руб.	L, Расходы по з/п, млн. руб.
1987	3,626	12,021	1,251
1988	4,014	13,787	1,321
1989	4,453	15,429	1,392
1990	4,869	17,212	1,454
1991	5,296	19,042	1,507
1992	5,798	20,79	1,568
1993	6,233	23,097	1,598
1994	6,641	25,108	1,626
1995	7,241	27,097	1,667
1996	7,854	29,627	1,706
1997	8,09	32,362	1,753
1998	8,504	35,391	1,778
1999	8,879	38,474	1,806
2000	9,053	41,779	1,813
2001	9,11	45,976	1,855
2002	9,321	50,354	1,878
2003	9,545	55,018	1,898
2004	9,539	58,733	1,906
2005	9,774	61,935	1,911
2006	9,955	66,467	1,926
2007	10,1	69,488	1,939

 

Построение производственной функции

 

Линейная производственная функция

Построим линейную производственную функцию вида:

 

                                                               (1)

 

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате. И функция неувязок имеет вид

 

 

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003. В результате получаем следующие показатели: Функция неувязок

 

 

достигает минимума при

a0	a1	a2
-8,384563	0,0112465	9,15343789

 

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	3,201583	0,180130129
1988	13,787	1,321	4,014	3,862185	0,023047917
1989	15,429	1,392	4,453	4,530545	0,006013299
1990	17,212	1,454	4,869	5,118111	0,062056363
1991	19,042	1,507	5,296	5,623824	0,107468886
1992	20,79	1,568	5,798	6,201843	0,163089243
1993	23,097	1,598	6,233	6,502392	0,072572016
1994	25,108	1,626	6,641	6,781305	0,019685475
1995	27,097	1,667	7,241	7,178965	0,003848315
1996	29,627	1,706	7,854	7,564403	0,083866442
1997	32,362	1,753	8,09	8,025374	0,004176551
1998	35,391	1,778	8,504	8,288275	0,046537103
1999	38,474	1,806	8,879	8,579245	0,089853262
2000	41,779	1,813	9,053	8,680488	0,138764849
2001	45,976	1,855	9,11	9,112134	4,55595E-06
2002	50,354	1,878	9,321	9,371901	0,002590889
2003	55,018	1,898	9,545	9,607423	0,003896665
2004	58,733	1,906	9,539	9,722432	0,033647144
2005	61,935	1,911	9,774	9,80421	0,00091265
2006	66,467	1,926	9,955	9,992481	0,001404816
2007	69,488	1,939	10,1	10,14545	0,002065819

 

Следовательно, теперь мы можем построить ПФ:

 

Y^ = -8,384563 + 0,0112465*K +9,15343789*L

 

Рис.1 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

 

Квадратичная производственная функция

 

Построим квадратичную производственную функцию вида:

 

                                     (2)

 

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате. И функция неувязок имеет вид

 

 

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003. В результате получаем следующие показатели:

Функция неувязок достигает минимума при:

 

a0	a1	a2	a3	a4
10,65719	-0,02671	-16,62825	-0,00006	8,9660141

 

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	3,556971	0,004765067
1988	13,787	1,321	4,014	3,957216	0,003224444
1989	15,429	1,392	4,453	4,456814	1,45478E-05
1990	17,212	1,454	4,869	4,956672	0,007686313
1991	19,042	1,507	5,296	5,429411	0,017798428
1992	20,79	1,568	5,798	6,045845	0,06142728
1993	23,097	1,598	6,233	6,330639	0,009533385
1994	25,108	1,626	6,641	6,614652	0,000694191
1995	27,097	1,667	7,241	7,083803	0,024710798
1996	29,627	1,706	7,854	7,538203	0,099727837
1997	32,362	1,753	8,09	8,130652	0,001652609
1998	35,391	1,778	8,504	8,412681	0,00833908
1999	38,474	1,806	8,879	8,750258	0,016574426
2000	41,779	1,813	9,053	8,756131	0,08813129
2001	45,976	1,855	9,11	9,303874	0,037587284
2002	50,354	1,878	9,321	9,547923	0,051493886
2003	55,018	1,898	9,545	9,737155	0,036923633
2004	58,733	1,906	9,539	9,751322	0,045080747
2005	61,935	1,911	9,774	9,729603	0,001971064
2006	66,467	1,926	9,955	9,838768	0,013509783
2007	69,488	1,939	10,1	9,966716	0,017764679

 

Следовательно, ПФ имеет вид:

 

Y^ = 10,65719 - 0,02671*K - 16,62825*L - 0,00006*K² + 8,9660141*L²

 

 

 

Рис.2 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

 

Производственная функция Кобба-Дугласа

 

Производственная функция Кобба-Дугласа при

Построим производственную функцию Кобба-Дугласа вида:

 

,                                                                        (3)

 

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате, при α+β=1. И функция неувязок имеет вид

 

 

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003. В результате получаем следующие показатели:

 

A
1,51428	0,358355	0,641646

 

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	4,261998	0,404493704
1988	13,787	1,321	4,014	4,635727	0,386545002
1989	15,429	1,392	4,453	4,991358	0,289829368
1990	17,212	1,454	4,869	5,338037	0,219995285
1991	19,042	1,507	5,296	5,663481	0,135042394
1992	20,79	1,568	5,798	5,995276	0,038917787
1993	23,097	1,598	6,233	6,301843	0,004739403
1994	25,108	1,626	6,641	6,565998	0,005625294
1995	27,097	1,667	7,241	6,85654	0,147809652
1996	29,627	1,706	7,854	7,185243	0,447235307
1997	32,362	1,753	8,09	7,546696	0,295179318
1998	35,391	1,778	8,504	7,863713	0,409967528
1999	38,474	1,806	8,879	8,18429	0,482621959
2000	41,779	1,813	9,053	8,450547	0,36295021
2001	45,976	1,855	9,11	8,874924	0,055260868
2002	50,354	1,878	9,321	9,241757	0,006279478
2003	55,018	1,898	9,545	9,604897	0,003587687
2004	58,733	1,906	9,539	9,859026	0,102416413
2005	61,935	1,911	9,774	10,06527	0,084839983
2006	66,467	1,926	9,955	10,37517	0,176539605
2007	69,488	1,939	10,1	10,58735	0,237509292

 

ПФ примет следующий вид:

 

Y^ = 1,51428*K ^0,358355 *L ^0,641646

 

Риc. 3 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

 

Производственная функция Кобба-Дугласа при

 

Построим производственную функцию Кобба-Дугласа вида:

,                                                                             (4)

 

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате, при α+β≠1.

и функция неувязок имеет вид

 

 

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003.

В результате получаем следующие показатели:

Функция неувязок достигает минимума при:

A
1,897142	0,00058832	2,549475

 

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	3,362716	0,069318534
1988	13,787	1,321	4,014	3,863748	0,022575574
1989	15,429	1,392	4,453	4,41574	0,001388299
1990	17,212	1,454	4,869	4,934927	0,004346316
1991	19,042	1,507	5,296	5,406895	0,012297621
1992	20,79	1,568	5,798	5,982806	0,03415343
1993	23,097	1,598	6,233	6,279367	0,002149873
1994	25,108	1,626	6,641	6,564019	0,005926094
1995	27,097	1,667	7,241	6,994586	0,060719804
1996	29,627	1,706	7,854	7,419767	0,1885579
1997	32,362	1,753	8,09	7,952506	0,018904497
1998	35,391	1,778	8,504	8,245287	0,06693267
1999	38,474	1,806	8,879	8,5808	0,088922973
2000	41,779	1,813	9,053	8,666268	0,149561493
2001	45,976	1,855	9,11	9,187851	0,006060771
2002	50,354	1,878	9,321	9,481589	0,025788929
2003	55,018	1,898	9,545	9,741659	0,038674906
2004	58,733	1,906	9,539	9,847063	0,094903007
2005	61,935	1,911	9,774	9,913364	0,019422386
2006	66,467	1,926	9,955	10,11337	0,025082505
2007	69,488	1,939	10,1	10,28859	0,035565711

 

В результате ПФ будет иметь следующий вид:

 

Y^ = 1,897142*K ^0,00058832 *L ^2,549475

 

Рис.4 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

 

Производственная функция Кобба-Дугласа с учетом НТП при

 

Построим производственную функцию Кобба-Дугласа с учётом НТП вида:

 

,                                                            (5)

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате, – специальный множитель технического прогресса, p₀ – параметр нейтрального НТП (p₀>0) при α+β=1. И функция неувязок имеет вид

 

 

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003.

В результате получаем следующие показатели:

Функция неувязок достигает минимума при:

 

A			p
1,11077	0,49463	0,50537	-0,009

 

t	Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
0	1987	12,021	1,251	3,626	4,255462	0,396223037
1	1988	13,787	1,321	4,014	4,639196	0,390869685
2	1989	15,429	1,392	4,453	4,99121	0,289670078
3	1990	17,212	1,454	4,869	5,33781	0,219782385
4	1991	19,042	1,507	5,296	5,662748	0,134504095
5	1992	20,79	1,568	5,798	5,980033	0,033136038
6	1993	23,097	1,598	6,233	6,303323	0,004945302
7	1994	25,108	1,626	6,641	6,567753	0,005365166
8	1995	27,097	1,667	7,241	6,844795	0,156978794
9	1996	29,627	1,706	7,854	7,173191	0,463500994
10	1997	32,362	1,753	8,09	7,529158	0,314544001
11	1998	35,391	1,778	8,504	7,855534	0,420508573
12	1999	38,474	1,806	8,879	8,178033	0,491354634
13	2000	41,779	1,813	9,053	8,458675	0,35322206
14	2001	45,976	1,855	9,11	8,891876	0,047577972
15	2002	50,354	1,878	9,321	9,275526	0,002067921
16	2003	55,018	1,898	9,545	9,65592	0,012303177
17	2004	58,733	1,906	9,539	9,904998	0,133954245
18	2005	61,935	1,911	9,774	10,09099	0,100483383
19	2006	66,467	1,926	9,955	10,39732	0,195646721
20	2007	69,488	1,939	10,1	10,56933	0,220267427

 

ПФ будет иметь следующий вид:

 

Y^ = 1,11077*e ^-0,009t *K ^0,49463 *L ^0,50537

 

Рис. 5 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

 

Производственная функция Кобба-Дугласа с учетом НТП при

 

Построим производственную функцию Кобба-Дугласа с учётом НТП вида:

 

,                                                                (6)

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате, – специальный множитель технического прогресса, p₀ – параметр нейтрального НТП (p₀>0) при α+β≠1. И функция неувязок имеет вид

 

 

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003.

В результате получаем следующие показатели:

Функция неувязок достигает минимума при:

 

А			p
1,6643	0,03954	2,72382	-0,0087

 

t	Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
0	1987	12,021	1,251	3,626	3,379381	0,060820827
1	1988	13,787	1,321	4,014	3,90663	0,01152829
2	1989	15,429	1,392	4,453	4,486108	0,001096134
3	1990	17,212	1,454	4,869	5,029232	0,025674263
4	1991	19,042	1,507	5,296	5,51816	0,049355124
5	1992	20,79	1,568	5,798	6,115709	0,100939186
6	1993	23,097	1,598	6,233	6,410297	0,031434332
7	1994	25,108	1,626	6,641	6,684439	0,001886985
8	1995	27,097	1,667	7,241	7,112754	0,016447068
9	1996	29,627	1,706	7,854	7,535854	0,10121715
10	1997	32,362	1,753	8,09	8,072406	0,000309535
11	1998	35,391	1,778	8,504	8,346336	0,024857912
12	1999	38,474	1,806	8,879	8,662023	0,047078837
13	2000	41,779	1,813	9,053	8,705948	0,120444823
14	2001	45,976	1,855	9,11	9,220546	0,012220454
15	2002	50,354	1,878	9,321	9,486389	0,027353667
16	2003	55,018	1,898	9,545	9,713119	0,028264079
17	2004	58,733	1,906	9,539	9,764764	0,050969488
18	2005	61,935	1,911	9,774	9,769625	1,91375E-05
19	2006	66,467	1,926	9,955	9,920761	0,001172281
20	2007	69,488	1,939	10,1	10,03394	0,004364053

 

ПФ будет иметь следующий вид:

 

Y^ = 1,6643*e ^-0,0087 *K ^0,03954 *L ^2,72382

 

 

Рис. 6 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

 

Выбор лучшей модели

 

В предыдущей главе нами были построены и рассмотрены шесть видов производственной функции. Для построения прогноза уровня валовой стоимости продукции по с/х отрасли Украины для следующего года необходимо выбрать оптимальную модель производственной функции.

Для этого анализируем исходные данные с помощью линейного регрессионного анализа Microsoft Excel 2003, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов.

В результате получаем следующие показатели:

 

Модель производственной функции	Коэффициент детерминации	Стандартная ошибка	Сумма квадратов отклонений
Линейная	1,00	4,91*10-11	1,045632392
Кобба-Дугласа при α+β=1	0,999651913009379	0,0390553466664897	4,297385537
Кобба-Дугласа при α+β≠1	0,9986565670686	0,0849838692196464	0,971253293
Кобба-Дугласа с учётом НТП при α+β=1	0,999434169760968	0,0500555152681243	4,386905687
Кобба-Дугласа с учётом НТП при α+β≠1	0,998312036260028	0,0924459064874472	0,717453627
Квадратичная	0,994458953118657	0,167341009587636	0,54886177

 

Критерий выбора следующий: наибольшее значение коэффициента детерминации , наименьшая ошибка и наименьшая сумма квадратов отклонений.

Таким образом, для данной отрасли мы выбираем производственную функцию Кобба-Дугласа при α+β=1, которая выглядит следующим образом:

 

Y^ = 1,51428*K ^0,358355 *L ^0,641646

 

Полученная модель может быть использована для прогнозирования будущих значений валовой стоимости продукции на основе известных или ожидаемых уровнях капитала и затрат на заработную плату.

 

Расчет экономических характеристик выбранной производственной функции

 

Итак, процесс производства описывается с помощью функции Кобба-Дугласа при α+β=1

Y^ = 1,51428*K ^0,358355 *L ^0,641646

 

Оценим основные характеристики этой функции для способа производства, при котором К=75 млн. руб., а L=2,5млн. руб.:

Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду

Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна соответственно a и b, так как

 

,

 

и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.

Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции на 0,358355 процента, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска на 0,641646 процентов. Эти величины a=0,358355 и b=0,641646 положительны, следовательно увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время, они меньше единицы, и разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторы остаются постоянными. Их сумма равна единице, и это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства (y увеличивается в той же пропорции, что и К и L).

Производительность труда

Производительность труда показывает степень результативности использования трудовых ресурсов и вычисляется по формуле . Для нашего примера производительность труда будет равна

 

 

Фондоотдача

Фондоотдача (капиталоотдача) характеризует уровень плодотворности применения основного капитала (основных фондов) и вычисляется по формуле . Для нашего примера фондоотдача будет равна:

 

 

Предельная производительность труда и капитала

Для расчета этих величин определим частные производные функции по каждому из факторов:

 

 – предельная производительность труда

 – предельная производительность капитала

 

Таким образом, увеличение затрат капитала на 1 единицу при неизменных объемах используемого труда приведет к росту выпуска продукции на 0,061197 единицу, а увеличение затрат труда на 1 единицу при неизменных объемах капитала приведет к росту выпуска на 3,287271 единиц. И предельная производительность труда в три раза превышает аналогичную величину для фактора капитал.

Предельная норма замещения труда капиталом

Эта величина обозначается S и равняется . И для нашей функции предельная норма замещения ресурсов будет равна:

 

 

Таким образом, если затраты труда уменьшатся на 1 единицу, то при неизменном выпуске продукции затраты капитала увеличатся на 53,71613 единицы.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В ходе выполнения данной курсовой работы были построены и проанализированы различные модели производственных функций на основе данных, отражающих сельскохозяйственную отрасль Украины, с использованием стандартного набора факторов (капитальные затраты и расходы по заработной плате) позволяющие оценить и получить некоторое представление о взаимном влиянии объясняемой (Y) и объясняющих переменных (Х₁, Х₂).

Построение производственных функций помогло нам рассмотреть эффективность применения определённой комбинации ресурсов. В итоге можно сделать вывод, что расходы по заработной плате, так же, как и затраты капитала несомненно влияют на отраслевой выпуск продукции, ведь от условий производства зависит то, каким образом отрасль будет позиционировать себя и то насколько успешно будет её деятельность.

Стоит отметить, что без эконометрических методов в экономике невозможно построить надёжного прогноза, а, следовательно, подвергается угрозе экономическая эффективность и возможность дальнейшего развития, как отдельного предприятия, так и системы национального хозяйства.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити-Дана, 2003.

2. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю., Сиротин В.П. Эконометрика: Учебно-методический комплекс. – М.: Изд. Центр ЕАОИ. 2008. – 144с.

3. Статистический ежегодник Украины, 1986-2007гг.

4. Калинина В.Н. Соловьев В.И. Практикум по эконометрическому моделированию. - М.: Юнити-Дана, 2008.

5. Волков А.В. Математическая экономика. – М.: Изд. Центр РЭА им. Плеханова, 2008.

ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ

1. http://www.prime-tass.ru/

2. www.ukrstat.gov.ua

3. http://www.expert.ru/