Геометрический смысл понятия производной
Вступление Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.). Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем. Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение". Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной,какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.
1. Определение производной
Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х0. Для любой точки х из этой окрестности приращение Dx определяется формулой Dx=х – х0, откуда х=х0+Dx. Приращением функции y=f(x) в точке х0 называется разность
Dу=f(x) – f(x0)=f(x0+Dx) – f(x0). Производной от функции у=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента ( ), когда приращение аргумента стремится к нулю (Dx→0). Производная функции у=f(x) в точке х0 обозначается y'(х0) или f'(х0). Определение производной можно записать в виде формулы:
'( )= = .
Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х0. Если она дифференцируема во всех точках промежутка X, то говорят, она дифференцируема на всём этом промежутке. Конечно, может не существовать. В этом случае говорят, что функция f(x) не имеет производной в точке х0. Если равен или , то говорят, что функция f(x) имеет в точке х0 бесконечную производную (равную или , соответственно). Геометрический смысл понятия производной
Пусть на плоскости x0y дана непрерывная кривая y=f(x)(см. рис. 1). Рассмотрим на графике кривой точки Mo(xo;f(xo)) и M1(xo+ D x; f(xo+ D x)). Проведем секущую MoM1. Пусть – угол наклона секущей MoM1 относительно оси 0х. Если существует предел , то прямая, проходящая через Mo и образующая с осью 0х угол , называется касательной к графику данной кривой в точке Mo. Таким образом, под касательной к кривой y=f(х) в точке Mo естественно понимать предельное положение секущей MoM1, к которому она стремится, когда Dx®0. Пусть N(xo+ D x; f(xo)) – точка, дополняющая отрезок MoM1 до прямоугольного треугольника MoM1N. Так как сторона MoN параллельна оси 0х, то
Переходя к пределу в левой и правой частях этого равенства при Dx→0, получим
Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f’(x0) – это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной к графику y=f(х) в точке (xo; f(xo)). Найдём уравнение касательной к графику в точке Mo(xo; f(xo)) в виде y=kx+b. Так как Mo f(x), то должно выполняться равенство f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0) – kx0. Следовательно, касательная задаётся уравнением y=kx+f(x0) – kx0=f(x0)+k(x – x0).
Поскольку k=f'(x0), то уравнение касательной имеет вид y=f(x0)+f'(x0)(x – x0).
Как вычисляют производную? 1. Записывают функцию в виде y=f(х). 2. Вычисляют Dy – приращение функции: Dу=f(x+Dx) – f(x). 3. Составляют отношение 4. Представляют, что Dx стремится к нулю, и переходят к пределу = y'(х0). 5. Вычисляют производную в точке х0: y'(х) = y'(х0). Операция вычисления производной называется дифференцированием. Примеры дифференцирования:
1. Dy=a(x+Dx)2 – ax2=2axDx+aDx2;
=2ax+Dx; =2ax, Þ ( ах 2 )'=2ax.
2. ;
= ; =3x2, Þ (x3)'=3x2.
3. ;
= – , Þ
Дифференциал функции Дифференциалом функции f(х) в точке х0 называется линейная функция приращения вида Дифференциал функции y=f(х) обозначается dy или df(x0). Главное назначение дифференциала состоит в том, чтобы заменить приращение на линейную функцию от , совершив при этом, по возможности, меньшую ошибку. Наличие конечной производной даёт возможность представить приращение функции в виде
где при . Из этого следует, что ошибка в приближённом равенстве (равная ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем , когда . Это часто используют при приближённых вычислениях.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (216)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |