Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
Рассмотрим система дифференциальных уравнений ż = F(t)z + g(t) (- ¥ < t < + ¥), (8) где F(t) — непрерывная периодическая матрица с периодом ω, g(t) — непрерывная периодическая вектор-функция с периодом ω. Нас будут интересовать периодические решения этой системы уравнений с периодом ω. Теорема 2. Пусть однородная система уравнений (1) (соответствующая неоднородной системе (8)) не имеет нетривиальных периодических решений с периодом ω (то есть все ее мультипликаторы отличны от единицы). Тогда система уравнений (8) имеет единственное периодическое решение с периодом ω. Доказательство. Любое решение системы уравнений (8) может быть представлено в виде
(9)
где Z(t) — фундаментальная матрица системы уравнений (1). Выберем фундаментальную матрицу Z(t) так, чтобы было Z(0) = E. В этом случае формула (9) примет вид (при t0 = 0) (10)
Потребуем, чтобы решение z(t) имело период ω: z(t + ω) = z(t). (11) В частности, при t = 0 z(ω) = z(0). (12) Оказывается, что если для некоторого решения z(t) выполнено условие (12), то оно имеет период ω. В самом деле, z(t + ω) и z(t) — два решения системы уравнений (8), удовлетворяющие в силу (12) одному и тому же начальному условию при t = 0. В силу теоремы единственности эти решения тождественно совпадают, то есть имеет место соотношение (11). Таким образом, условие того, что решение z(t) имеет период ω, можно записать в виде (12). В силу формулы (10) соотношение (12) примет вид
(13)
По условию теоремы, все мультипликаторы системы (1) отличны от единицы. Поэтому ç Z( w ) - E ç ¹ 0 (характеристическое уравнение ç Z( w ) - ρE ç = 0 не имеет корня ρ = 1) и система уравнений (13) однозначно разрешима отностильно z0. Теорема доказана. Замечание. В случае, когда однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ω, линейная неоднородная система уравнений (8) может или вообще не иметь периодических решений с периодом ω (если система уравнений (13) несовместна), или иметь несколько линейно независимых периодических решений с периодом ω (если система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).
Примечания: 1. d j 1 = {1;0; …;0}, …, d j n = {0;0; …;1}. 2. Любое решение x(t) однородной системы уравнений есть линейная комбинация решений фундаментальной системы решений x1(t), …,xn(t). 3. Все выводы получаются следующим образом: из Ż = F(t)Z и Z(t) = Ф(t)eAt следует то, что, подставляя второе выражение в первое, получим
Примеры: Теперь рассмотрим несколько примеров на применение рассмотренных в докладе теорем и следствий к ним:
Пример 1: Показать, что линейное уравнение второго порядка
где f ( t ) — непрерывная периодическая функция с периодом ω, имеет единственное периодическое решение с периодом ω, если
Решение.
Сведем дифференциальное уравнение к системе и применем теорему 2:
1. Имеем
3. Находим мультипликаторы однородной системы:
Итак, если
все мультипликаторы системы уравнений (**) отличны от единицы.Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Из этого следует, что система (*),а значит и исходное дифференциальное уравнение, имеет единственное периодическое решение с периодом ω.
Задача решена. Пример 2: Показать, что линейное уравнение второго порядка
при a ≠2 πk /ω ( k Î R ) имеет единственное периодическое решение с периодом ω (см. пример 1); при a = ± 2 π / ω не имеет периодических решений с периодом ω, а при a =2 πk /ω (k — любое целое число, не равное ± 1 и 0) все его решения — периодические с периодом ω.
Решение.
Очевидно, что здесь необходимо воспользоваться теоремой 2 и замечанием к ней. Решение данного примера необходимо разбить на 3 части (для каждого из условий). Поскольку при нахождении матрицы монодромии в предыдущем примере мы свободный член исходного дифференциального уравнения не использовали и учитывая одинаковые правые части дифференциальных уравнений обоих примеров, можно будет сразу воспользоваться некоторыми выкладками примера 1.
Итак, матрица монодромии имеет следующий вид:
1.[a ≠2 πk /ω ( k Î R )] Как мы установили в примере 1, любое линейное уравнение вида при указанных ограничениях действительно имеет единственное периодическое решение с периодом ω.
2-3.[a = ± 2 π / ω ; a =2 πk /ω (k — любое целое число, не равное ± 1 и 0)] При данных значениях а однородная система (**) из 1-го примера имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ω, тогда в соответствии с замечанием к теореме 2 линейная неоднородная система уравнений, соответствующая заданному дифференциальному уравнению , может или вообще не иметь периодических решений с периодом ω (для случая 2 необходимо установить несовместность системы уравнений (13)), или иметь несколько периодических решений с периодом ω (для случая 3 необходимо установить, что система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений). Сначала мы будем случаи 2 и 3 рассматривать совместно:
Система уравнений (13):
Неоднородная система, соответствующая заданному дифференциальному уравнению:
Далее решать систему будем отдельно для каждого заданного значения а: 2. Подставляем в систему (***)a = ± 2 π / ω :
3. Подставляем в систему (***)a =2 πk /ω (k — любое целое число, не равное ± 1 и 0):
Таким образом,система (13') имеет бесконечное множество решений для данных значений а Þ исходное дифференциальное уравнение имеет несколько линейно независимых периодических решений с периодом ω.
Замечание. Отдельно стоит рассмотреть случай, когда а=0 (этому случаю соответствует k =0, если a =2 πk /ω). Если а=0, то матрицы, обратной фундаментальной матрице системы (**), не существует, отсюда сразу следует несовместность системы (13'), а значит исходное линейное уравнение второго порядка не имеет периодических решений.
Задача решена.
[1]
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (273)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |