Доказательство правильности алгоритма.

Математическая логика и теория алгоритмов

 

Содержание.

1. Постановка задачи.

2. Построение модели. 

3. Описание алгоритма

4. Доказательство правильности алгоритма

5. Блок-схема алгоритма

6. Описание переменных и программа

7. Расчёт вычислительной сложности

8. Тестирование

9. Список литературы

 

Постановка задачи.

Перечислить все способы расстановки n ферзей на шахматной доске n на n, при которых они не бьют друг друга.

 

Построение модели.

Очевидно, на каждой из n горизонталей должно стоять по ферзю. Будем называть k-позицией (для k = 0, 1,...,n) произвольную расстановку k ферзей на k нижних горизонталях (ферзи могут бить друг друга). Нарисуем "дерево позиций": его корнем будет единственная 0-позиция, а из каждой k-позиции выходит n стрелок вверх в (k+1)-позиции. Эти n позиций отличаются положением ферзя на (k+1)-ой горизонтали. Будем считать, что расположение их на рисунке соответствует положению этого ферзя: левее та позиция, в которой ферзь расположен левее.

Дерево позиций для n = 2

 

Данное дерево представлено только для наглядности и простоты представления для n=2.

Среди позиций этого дерева нам надо отобрать те n-позиции, в которых ферзи не бьют друг друга. Программа будет "обходить дерево" и искать их. Чтобы не делать лишней работы, заметим вот что: если в какой-то k-позиции ферзи бьют друг друга, то ставить дальнейших ферзей смысла нет. Поэтому, обнаружив это, мы будем прекращать построение дерева в этом направлении.

Точнее, назовем k-позицию допустимой, если после удаления верхнего ферзя оставшиеся не бьют друг друга. Наша программа будет рассматривать только допустимые позиции.

Описание алгоритма.

Разобьем задачу на две части: (1) обход произвольного дерева и (2) реализацию дерева допустимых позиций.

Сформулируем задачу обхода произвольного дерева. Будем считать, что у нас имеется Робот, который в каждый момент находится в одной из вершин дерева. Он умеет выполнять команды:

 

вверх_налево (идти по самой левой из выходящих вверх стрелок)

вправо (перейти в соседнюю справа вершину)

вниз (спуститься вниз на один уровень)

 

вверх_налево

вправо

вниз

 

и проверки, соответствующие возможности выполнить каждую из команд, называемые "есть_сверху", "есть_справа", "есть_снизу" (последняя истинна всюду, кроме корня). Обратите внимание, что команда "вправо" позволяет перейти лишь к "родному брату", но не к "двоюродному".

Будем считать, что у Робота есть команда "обработать" и что его задача - обработать все листья (вершины, из которых нет стрелок вверх, то есть где условие "есть_сверху" ложно). Для нашей шахматной задачи команде обработать будет соответствовать проверка и печать позиции ферзей.

Доказательство правильности приводимой далее программы использует такие определения. Пусть фиксировано положение Робота в одной из вершин дерева. Тогда все листья дерева разбиваются на три категории: над Роботом, левее Робота и правее Робота. (Путь из корня в лист может проходить через вершину с Роботом, сворачивать влево, не доходя до нее и сворачивать вправо, не доходя до нее.) Через (ОЛ) обозначим условие "обработаны все листья левее Робота", а через (ОЛН) - условие "обработаны все листья левее и над Роботом".

 

Нам понадобится такая процедура:

procedure вверх_до_упора_и_обработать

{дано: (ОЛ), надо: (ОЛН)}

begin

{инвариант: ОЛ}

while есть_сверху do begin

вверх_налево

end

{ОЛ, Робот в листе}

обработать;

{ОЛН}

end;

Основной алгоритм:

дано: Робот в корне, листья не обработаны

надо: Робот в корне, листья обработаны

{ОЛ}

вверх_до_упора_и_обработать

{инвариант: ОЛН}

while есть_снизу do begin

if есть_справа then begin {ОЛН, есть справа}

вправо;

{ОЛ}

вверх_до_упора_и_обработать;

end else begin

{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}

вниз;

end;

end;

 {ОЛН, Робот в корне => все листья обработаны}

 

Осталось воспользоваться следующими свойствами команд Робота (сверху записаны условия, в которых выполняется команда, снизу - утверждения о результате ее выполнения):

 

(1) {ОЛ, не есть_сверху} обработать {ОЛН}

(2) {ОЛ} вверх_налево {ОЛ}

(3) {есть_справа, ОЛН} вправо {ОЛ}

(4) {не есть_справа, ОЛН} вниз{ОЛН}

 

Теперь решим задачу об обходе дерева, если мы хотим, чтобы обрабатывались все вершины (не только листья).

Решение. Пусть x - некоторая вершина. Тогда любая вершина y относится к одной из четырех категорий. Рассмотрим путь из корня в y. Он может:

а) быть частью пути из корня в x (y ниже x);

б) свернуть налево с пути в x (y левее x);

в) пройти через x (y над x);

г) свернуть направо с пути в x (y правее x);

В частности, сама вершина x относится к категории в). Условия теперь будут такими:

(ОНЛ) обработаны все вершины ниже и левее;

(ОНЛН) обработаны все вершины ниже, левее и над.

Вот как будет выглядеть программа:

 

procedure вверх_до_упора_и_обработать

{дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)}

begin

{инвариант: ОНЛ}

while есть_сверху do begin

обработать

вверх_налево

end

{ОНЛ, Робот в листе}

обработать;

{ОНЛН}

end;

Основной алгоритм:

дано: Робот в корне, ничего не обработано

надо: Робот в корне, все вершины обработаны

{ОНЛ}

вверх_до_упора_и_обработать

{инвариант: ОНЛН}

while есть_снизу do begin

if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа}

вправо;

{ОНЛ}

вверх_до_упора_и_обработать;

end else begin

{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}

вниз;

end;

end;

{ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны}

Приведенная только что программа обрабатывает вершину до того, как обработан любой из ее потомков. Теперь изменим ее, чтобы каждая вершина, не являющаяся листом, обрабатывалась дважды: один раз до, а другой раз после всех своих потомков. Листья по-прежнему обрабатываются по разу:

Под "обработано ниже и левее" будем понимать "ниже обработано по разу, слева обработано полностью (листья по разу, остальные по два)". Под "обработано ниже, левее и над" будем понимать "ниже обработано по разу, левее и над - полностью".

 

Программа будет такой:

 

procedure вверх_до_упора_и_обработать

{дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)}

begin

{инвариант: ОНЛ}

while есть_сверху do begin

обработать

вверх_налево

end

{ОНЛ, Робот в листе}

обработать;

{ОНЛН}

end;

Основной алгоритм:

дано: Робот в корне, ничего не обработано

надо: Робот в корне, все вершины обработаны

{ОНЛ}

вверх_до_упора_и_обработать

{инвариант: ОНЛН}

while есть_снизу do begin

if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа}

вправо;

{ОНЛ}

вверх_до_упора_и_обработать;

end else begin

{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу}

вниз;

обработать;

end;

end;

{ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны полностью}

Доказательство правильности алгоритма.

Докажем, что приведенная программа завершает работу (на любом конечном дереве).

Доказательство. Процедура вверх_налево завершает работу (высота Робота не может увеличиваться бесконечно). Если программа работает бесконечно, то, поскольку листья не обрабатываются повторно, начиная с некоторого момента ни один лист не обрабатывается. А это возможно, только если Робот все время спускается вниз. Противоречие.

Блок-схема алгоритма.