Способ проверки с помощью девятки.

Модель № 1

Тема урока: Определение сравнения целых чисел по данному модулю и его свойства.

ОЦ: Через организацию урока обеспечить усвоение определения сравнения целых чисел на 1, 2 уу , свойства сравнений на 1 уу.

ВЦ: Через организацию взаимодействия учителя и учащихся воспитывать самостоятельность учащихся.

РЦ: Развивать память, мышление учащихся.

Содержание урока.

I. Передача целей и сообщение темы урока.

1.1. Ребята, сегодня мы начинаем занятия математического кружка по теме “Теория сравнения целых чисел и ее приложения”.

Всем известно, что сегодня общество нуждается в людях грамотных, самостоятельных, способных решать свои проблемы, строить свою жизнь на нравственных основах и нести ответственность за свои поступки. Свободной личностью нельзя стать за один день, необходимо постоянное воспитание в себе таких личностных качеств, как сознательность, ответственность, целеустремленность, самостоятельность.

Данные занятия мы с вами будем организовывать таким образом, чтобы через усвоение учебного материала данной темы происходило воспитание в каждом из вас этих качеств, то есть становление каждого из вас как свободной личности.

1.2. Основными позитивными составляющими нравственной категории свободы являются:

§ целеустремленность,

§ самостоятельность,

§ самодеятельность,

§ сознательность,

§ ответственность,

§ долг,

§ совесть,

§ свобода выбора,

§ самопринуждение и др.

1.3. За воспитательную цель данных занятий я предлагаю принять воспитание самостоятельности. Давайте разберемся, что такое самостоятельность.

Ученики высказывают мнения по поводу самостоятельности, учитель обобщает ответы учащихся :

1.4. Итак, самостоятельность – это одно из ведущих качеств личности, выражающееся в умении поставить определенную цель, настойчиво добиваться ее выполнения собственными силами, ответственно относиться к своей деятельности, действовать при этом сознательно и инициативно.

1.5. Вы принимаете поставленную воспитательную цель? Если да, то ответьте на вопрос : “Какого человека мы можем назвать самостоятельным?”

Ответ ученика: Самостоятельным считается тот человек, который умеет

1. Поставить перед собой определенную цель.

2. Выбрать адекватные пути и средства достижения поставленной цели, при этом ответственно относиться к своей деятельности.

3. Анализировать результаты деятельности, т.е. соотносить полученный результат с поставленной целью.

1.6. Верно. Итак, тема сегодняшнего занятия “Определение сравнения целых чисел по данному модулю и его свойства. ” Как вы думаете, какую воспитательную цель нам следует поставить для того, чтобы произошло успешное усвоение материала данной темы?

Учащиеся формулируют образовательную цель занятия, учитель им в этом помогает.

1.7. В какой форме вы предлагаете провести данное занятие? Это может быть совместная работа учителя и учащихся по изучению учебного материала, самостоятельная деятельность учащихся или автономная деятельность учителя. Прежде чем ответить на вопрос, соотнесите выбранную форму организации занятия с поставленной целью.

Предполагается, что учащиеся остановят свой выбор на совместной работе учителя и учеников.

II. Ход урока.

2.1. Как вы думаете, с чего следует начать изучение данной темы?

Ответ : С определения сравнения по данному модулю.

2.2. Итак, запишите : два целых числа а и в называются сравнимыми по данному модулю m, если их разность (а-в) делится на m, причем число m – неотрицательное и отличное от единицы.

Таким образом, сравнение представляет собой соотношение между тремя целыми числами а, в, и m, причем число m называют “модулем”. Для краткости соотношение между а, в и m записывают следующим образом:

а≡в(mod m).

Если разность (а-в) не делится на m, то записывают следующим образом:

а≡в(mod m).

Кто выйдет к доске и запишет данное определение в математических символах?

Ответ: а≡в(mod m) , если (а-в) : m , где m>1.

2.3. Проговорите данное определение вполголоса для того, чтобы 1уу был взят каждым из вас.

2.4. Как определить, сравнимы ли два данных числа по заданному модулю? Попробуйте составить алгоритм узнавания сравнимых по данному модулю целых чисел.

Ответ : Чтобы проверить сравнимость двух целых чисел по данному модулю, надо:

1. Найти разность этих чисел;

2. Установить, делится ли полученная разность на данный модуль;

3. Сделать вывод.

2.5. Верно. А теперь попробуйте привести примеры сравнимых по модулю 5 чисел.

2.6. Проверьте, сравнимы ли числа :

1. а=56, в=40, m=8 ;

2. а=48, в=13, m= -2 ;

3. а=4.5, в=6, m=3 ;

4. а=17, в=28, m=11.

2.7. Проверьте, верно ли сравнение:

1. 6≡0(mod 2);

2. 4≡53(mod 7);

3. 59≡17(mod 2).

2.8. Как вы думаете, какими свойствами обладает отношение сравнения?

Итак, запишите:

1. Всякое число сравнимо с самим собой, т.е.

а≡а(mod m);

2. Если a≡b(mod m), то b≡a(mod m) ;

3. Если a≡b(mod m) и b≡c(mod m) , то a≡c(mod m);

4. Обе части сравнения можно умножать на любое целое число, при этом сравнение не изменится.

5. Сравнения можно почленно складывать, вычитать, перемножать.

6. Обе части сравнения можно делить на одно и то же число, отличное от нуля.

7. Любое слагаемое левой и правой части сравнения можно перенести с противоположным знаком в другую часть.

8. Обе части сравнения и модуль можно делить на одно и то же ненулевое число.

2.9. Все выше перечисленные свойства доказываются с помощью определения сравнения по данному модулю. Давайте докажем эти свойства.(Ученик у доски доказывает одно из свойств, учащиеся и учитель ему в этом помогают.)

Ответ : Согласно определению, два числа сравнимы по данному модулю, если их разность делится на этот модуль. Докажем свойство №1:

Т.к. разность (а – а ) =0 делится на любое число m, то a≡a(mod m).

Аналогично доказываются все оставшиеся свойства сравнений по данному модулю.

2.10.Произнесите теперь еще раз выше перечисленные свойства сравнений с целью усвоения их на 1 уу.

III. Анализ результатов.

3.1. Итак, какую цель мы сегодня перед собой ставили?

Ученики формулируют цель.

1. Как вы считаете, мы ее достигли и почему?

2. Спасибо за урок!

 

Модель № 2.

Тема урока: Способы проверки арифметических действий с помощью теории сравнений.

ОЦ: Через организацию урока обеспечить усвоение способов проверки арифметических действий посредством теории сравнений на 1,2 уу.

ВЦ: Воспитывать самостоятельность.

РЦ: Развивать память, мышление.

Содержание урока.

I. Постановка целей и сообщение темы урока.

1.1. Сегодня на уроке вы познакомитесь с очень интересной областью применения теории сравнений. Теоретический материал данной темы вам приподнесет Иванов П., который выбрал эту тему для самостоятельного изучения, разобрался с ее содержанием и сегодня попытается доходчиво донести его до вас. Ваша задача – внимательно слушать отвечающегося, уважать его труд, быть активными в работе на уроке. Не забывайте также, что мы с вами договорились все занятия кружка посвятить воспитанию в себе самостоятельности, поэтому будте целеустремленны и ответственны за свою деятельность на сегодняшнем уроке.

Далее учитель передает вдение урока ученику, приготовившему доклад по данной теме.

Примечание: Каждый ученик (по желанию) заранее выбирает тему для самостоятельного изучения. Учитель помогает учащемуся в изучении выбранной темы тем, что предоставляет ему источник , в котором ученик сможет найти нужную информацию по данной теме, знакомит ученика с приемами работы над текстом учебника (или любого другого источника информации).

При такой организации урока учащимся предоставляется возможность встать на путь исследований, пусть простых , но тем не менее их ум направлен на поиск, раздумия, открытия. Тем самым , на таких уроках заложится фундамент творческих способностей учащихся, через самостоятельную работу учеников над новой темой произойдет развитие у учащихся таких личностных качеств , как настойчивость, целеустремленность, самостоятельность, ответственность в выполнении поручений (ведь от того, как ученик самостоятельно поработает над темой , зависит понимание или непонимание данной темы классом).

II. Ход урока.

2.1. Прежде чем перейти к изучению нового материала, вспомним:

1. В каком случае два числа называются сравнимыми по данному модулю?

2. Как формулируются основные свойства сравнений?

3. Как формулируются признаки делимости целых чисел на 9 и на 11?

2.2. А теперь перейдем к изучению нового материала.

Ученик делает доклад по данной теме, отвечает на вопросы одноклассников .

Содержание доклада ученика :

Теория сравнений дает следующий способ проверки арифметических действий.

Выбираем некоторый модуль т и заменяем большие числа а,в,с,…, над которыми нам надо производить действия (сложение, умножение, вычитание, возведение в степень), небольшими числами а’ , в’ , с’ ,…, сравнимыми с ними по модулю т. Произведя действия над а, в, с,…, мы такие же действия производим над а’ , в’ , c’ ,…. Если действия произведены верно, то результаты этих действий должны быть сравнимы по модулю т.

Действительно, согласно свойствам сравнений,

если

a≡a’(mod m) , b≡b’(mod m),... ,

то

a+b+...≡a’+b’+...(mod m),

a•b•... ≡a’•b’•... (mod m),

aⁿ≡bⁿ(mod m).

Применение этого способа имеет смысл только в том случае, когда нахождение таких чисел а’ ,b’ , c’ , … осуществляется легко и не требует большого времени. Для этого обычно в качестве модуля выбмрают m=9 и т=11, так как признаки делимости на эти числа наиболее просты в применении. . Сформулируем способы проверки арифметических действий “с помощью девятки” и “с помощью одиннадцати”.

По признаку делимости на 9: каждое число, записанное в десятичной системе счисления, сравнимо с суммой его цифр по модулю 9. Исходя из этого, способ формулируется следующим образом:

Способ проверки с помощью девятки.

Для каждого числа вычисляется остаток от деления на 9 суммы цифр. Производя действиянад числами, производят такие же действия над этими остатками. Результат рассматриваемых действий над этими остатками должен отличаться от суммы цифр искомого результата на число, кратное девяти.

По модулю 11 каждое число, записанное в десятичной системе счисления, будет сравнимо с суммой цифр, взятых справа налево попеременно со знаками “плюс” и “минус”(согласно признаку делимости на 11). Следовательно, следующий способ формулируется так: