Линейный множественный регрессионный анализ

 

В практике часто возникают ситуации, когда функция отзыва (цели) Y зависит не от одного, а от многих факторов. Установление формы связи в таких случаях начинают, как правило с рассмотрения линейной регрессии такого вида:

 

 

В таком случае результаты наблюдений должны быть представлены уравнениями, полученными в каждом из п опытов:

 

 (1)

 

или в виде матрицы результатов наблюдений:

 

 

где п – количество опытов; k - количество факторов.

Для решения системы уравнений (1) необходимо, чтобы количество опытов было не меньше

 

k + 1, т.е. п k + 1.

 

Заданием множественного регрессионного анализа является построение такого уравнения прямой k-мерном пространстве, отклонение результатов наблюдений  от которой были бы минимальными. Используя для этого метод наименьших квадратов, получаем систему нормальных уравнений:

 

 

которую представим в матричной форме

 

(Х^ТХ)В = X^TY, (2)

 

где В - вектор-столбец коэффициентов уравнения регрессии;

X - матрица значений факторов;

Y - вектор-столбец функции отзыва;

X^Т - транспонированная матрица X.

При = 1, , они соответственно равны:

 

 

Перемножив правую и левую часть уравнения (2) на обратную матрицу (Х^ТХ)^-1, получим при:

 

 

Каждый коэффициент уравнения регрессии вычисляется по формуле:

 

 

где  - элементы обратной матрицы (Х^ТХ)^-1.

Для проверки значимости уравнения регрессии необходимо при заданных значениях ( ) провести несколько экспериментов, чтобы получить некоторое среднее значение функции Y. В этом случае экспериментальный материал представляется, например, в виде табл. 1.

 

Таблица 1

№	Уровни факторов		Значения функции Y при параллельных исследованиях			Исследуемое среднее значение
	x1	x2	y1	y2	y3
1	1,0	0,2	18,2	18,6	18,7	18,5
2	2,0	0,4	21,6	23,4	23,7	22,9
3	2,5	0,3	22,0	23,0	22,5	22,5

 

Число параллельных исследований должно быть больше трёх .

Проверка значимости уравнения регрессии проводится по F-критерию. Для этого вычисляется остаточная дисперсия

 

 

и -статистика

 

 

которая сравнивается с табличным значением  при уровне значимости α и числе ступеней свободы

 

k₁ = п - 1, k₂ = п – k - 1.

 

Гипотеза про значимость уравнения регрессии принимается при условии:

 

 

Значимость коэффициентов регрессии проверяется по t-критерию.

Статистика  сравнивается с табличным значением  при уровне значимости α и числе степеней свободы

 

k₁ = п – k - 1.

 

Наклонная коэффициента регрессии:

 

 

где  - диагональный элемент матрицы (Х^ТХ)^-1.

Доверительный интервал для коэффициентов регрессии определяется по формуле:

 

 

где В - значение коэффициента регрессии в генеральной совокупности.

Список использованной литературы

 

1. Александров В.В., Алексеев А.И., Горский Н.Д. Анализ данных на ЭВМ (на примере системы СИТО). – М.: Финансы и статистика, 1990.

2. Блюмин С.Л., Суханов В.Ф., Чеботарев С.В. Экономический факторный анализ: Монография. – Липецк: ЛЭГИ, 2004.

3. Рогальский Ф.Б., Курилович Я.Е., Цокуренко А.А. Математические методы анализа экономических систем. Книга 1. – К.: Наукова думка, 2001.

4. Рогальский Ф.Б., Цокуренко А.А. Математические методы анализа экономических систем. Книга 2. – К.: Наукова думка, 2001.