Вариационнон пространство моделирования

Представление продукционной системы как взаимодействующей совокупности продуцента и продукта является перспективным методом динамического моделирования экономических объектов типа «производитель». Продукционная система рассматривается как системно-ориентированная модель производителя и позволяет на основе общности принципов функционирования подсистем получить универсальные топологические уравнения.

В задачах управления для описания динамических экономических объектов используется вариационные модели.

Основу вариационных моделей составляет описание в пространстве вариаций (изменений, приращений). Вариационные модели имеют ряд преимуществ:

· в явном виде задают изменение свойства и зависимость этого изменения от вызывающих его изменений исходных величин;

· в неявном виде содержат зависимость от времени.

Такое описание целесообразно для решение задач управления, поскольку, по определению, управление – это изменение состояний.

В основе вариационного метода моделирования лежит перевод описания моделей в пространство вариаций. Суть метода состоит в том, что решение задач управления (синтез и анализ) выполняют в пространстве вариаций. Результат решение задач управления, полученный в пространстве вариаций, переводят в исходное пространство.

Пространство вариаций – это пространство, в котором в качестве исходных величин используют их изменения, происходящие за некоторый интервал времени. При этом отношения исходных величин заменяют на отношения их изменений. Отношения изменений исходных величин называют параметрической чувствительностью. Чувствительность определяется как отношение изменений исходных величин. Величины, обратные к чувствительности, называют коэффициентами влияния.

Пусть M=<x,f> - исходная динамическая модель экономического объекта, где x – множество исходных величин; f - множество отношений исходных величин.

Тогда M _v=< v(x), v(f)> - вариационная модель экономического объекта, где

v(x) – множество вариаций исходных величин; f - множество отношений вариаций исходных величин.

Исходная и вариационная модели связаны двухсторонним (обратимым) преобразованием j F

j: MÛM _v

Преобразование j применяют к исходным величинам и их отношениям. Различают два основных вида вариационного преобразования - простое и относительное.

1. Простое вариационное преобразование

j_D: M=<x,f> ÛM_D=<Dx,s>

включает преобразование исходных величин и преобразование их отношений.

а) преобразование исходных величин состоит в переходе от исходных величин к их простым вариациям и включает

j_D: xÛDx, где

Dx(Dt)=x(t)-x₀(t₀) - уравнение простой вариации;

x(t) - состояние исходной величины в текущий момент времени t;

x₀(t₀) - состояние исходной величины в исходный момент времени t;

Dx(Dt) - простая вариация, определяемая как изменение исходной величины за интервал времени Dt=t-t₀.

б) преобразование отношений состоит в переходе от отношений исходных величин к их простым чувствительностям

j_D: f Ûs., где s(j,i) - простая чувствительность, которая определяется как отношение приращения Dx_j j -ой исходной величины к вызывающему его приращению Dx_i i -ой исходной величины;

s(x_j, x_i)=Dx_j /Dx_i - уравнение простой чувствительности в форме изменений.

s(x_j, x_i)=  - дифференциальная форма простой чувствительности.

2. Относительное вариационное преобразование

j_D: M=<x,f> Û M_d=<dx,S>

включает преобразование исходных величин и преобразование их отношений.

а) преобразование исходных величин состоит в переходе от исходных величин к их относительным вариациям

j_D: xÛdx, где

dx(Dt)=Dx(Dt)/x₀(t₀) - уравнение относительной вариации;

x₀(t₀) - состояние исходной величины в исходный момент времени t;

Dx(Dt) - простая вариация,

dx(Dt) - относительная вариация, определяемая как отношение простой вариации за интервал времени Dt=t-t₀ x₀(t₀) к состоянию исходной величины в исходный момент времени t;

б) преобразование отношений состоит в переходе от отношений исходных величин к их относительным чувствительностям

j_D: fÛS., где S(j,i) - относительная чувствительность, которая определяется как отношение относительного приращения dx_j j -ой исходной величины к вызывающему его относительному приращению dx_i i -ой исходной величины;

S(x_j, x_i)= dx_j/dx_i - уравнение относительной чувствительности в форме изменений.

S(x_j,x_i)=  - дифференциальная форма относительной чувствительности

Относительные чувствительности также называют логарифмическими, поскольку