Задание на лабораторную работу

 

На основе ранжированных данных о производительности труда и стаже работы двадцати рабочих бригады (таблица) необходимо:

2.1 Установить результативный и факторный признаки.

2.2 Определить наличие и форму корреляционной связи между производительностью труда рабочих бригады и стажем работы.

2.3 Построить на графике поле корреляции и эмпирическую линию корреляционной связи.

2.4 Построить регрессионную модель парной корреляционной зависимости и определить её параметры.

2.5 Построить на графике теоретическую кривую корреляционной зависимости.

2.6 Рассчитать показатели тесноты связи между выработкой рабочего и стажем работы. Дать качественную оценку степени тесноты связи.

2.7 Оценить существенность параметров регрессивной модели и показателей тесноты связи. Дать оценку надёжности уравнения регрессии.

2.8 Дать экспериментальную интерпретацию параметров построенной регрессионной модели.

2.9 На основании регрессионной модели парной зависимости указать доверительные границы, в которых будет находиться прогнозное значение уровня производительности труда рабочего бригады, если стаж его работы составит 10,5 лет при уровне доверительной вероятности 95%.

Решение:

Установим результативный и факторный признаки: результативный признак (y) - выработка, факторный (x) - стаж работы, лет.

Определим наличие и форму корреляционной связи между производительностью труда рабочих бригады и стажем работы. Так как увеличение значений признака-фактора влечёт за собой увеличение величины результативного признака. То можно предположить наличие прямой корреляционной связи между выработкой и стажем работы. Проведём группировку работников бригады по признаку-фактору - стажу работы. Результаты оформим в таблицу 2. Сравнив средние значения результативного признака по группам, можно сделать вывод о наличии связи между выработкой и стажем работы. Причём она будет являться прямой, так как рост значений признака фактора влечёт рост средних значений признака результата.

Построим поле корреляции.

 

Рисунок 1. Поле корреляции

 

Построим регрессионную модель парной корреляционной зависимости и определим её параметры:  - уравнение парной линейной корреляционной зависимости (регрессионная модель).

 

→ , →

Таблица 2 - Расчётная таблица.

8	800	6400	640000	64	789,02	-1,95	3,8025	152,5	23256,25	10,98	120,56
8	850	6800	722500	64				102,5	10506,25	60,98	3718,56
8	720	5760	518400	64				232,5	54056,25	-69,02	4763,76
9	850	1650	722500	81	872,86	-0,95	0,9025	102,5	10506,25	-22,86	622,57
9	800	7200	640000	81				-152,5	23256,3	-72,86	5308,57
9	880	7920	774400	81				-72,5	5256,25	7,14	50,98
9	950	8550	902500	81				2,5	6,25	77,14	5950,57
9	820	7380	672400	81				-132,5	17556,25	-52,86	2794,17
10	900	9000	810000	100	956,7	0,05	0,0025	-52,5	2756,25	-56,7	3114,89
10	1000	10000	1000000	100				47,5	2256,25	43,3	1874,89
10	920	9200	846400	100				-32,5	1056,25	-36,7	1346,89
10	1060	10600	1123600	100				107,5	11556,25	103,3	10670,89
10	950	9500	902500	100				2,5	6,25	-6,7	44,89
11	900	9900	810000	121	1040,54	1,05	1,1025	-52,5	2756,25	-140,54	975,15
11	1200	13200	1440000	121				247,5	61256,25	159,46	25421, 19
11	1150	12650	1322500	121				197,5	39006,5	109,46	11981,49
11	1000	11000	1000000	121				47,5	2256,25	-40,54	1643,49
12	1200	14400	1440000	144	1124,38	2,05	4, 2025	247,5	6156,25	75,62	5718,38
12	1100	13200	1210000	144				147,5	21756,25	-24,38	594,38
12	1000	12000	1000000	144				47,5	2256,25	-124,38	5470,38
199	19050	192310		2013	19050,16		32,95		358275		12969,33

 

Найдём среднее произведение факторного и результативного признака по формуле (8):

 

.

 

Рассчитаем средние значение факторного и результативного признака:

факторного по формуле (9):

 

.

 

результативного, по формуле (10):

 

; .

 

Подставим значения результативного и факторного признака в уравнение парной линейной корреляционной зависимости получим регрессионную модель парной корреляционной зависимости: - регрессионная модель зависимости выработки от стажа работы.

 

; .

 

5. Построим на графике теоретическую кривую корреляционной зависимости.

6. Рассчитаем показатели тесноты связи между выработкой рабочего и стажем работы. Для прямолинейных зависимостей измерителем тесноты связи между признаками является коэффициент парной корреляции, который рассчитывается по формуле (7).

Для расчёта коэффициента парной корреляции рассчитаем среднее квадратическое отклонение факторного и результативного признака:

результативного признака, по формуле (11)

 

 (штук)

 

факторного признака, по формуле (12)

 

 (лет)

 

Подставим полученные значения в формулу (7) рассчитаем показатель тесноты связи:

 

 

Дадим качественную оценку степени тесноты связи. Для этого рассчитаем коэффициент детерминации, который показывает какая часть общей вариации результативного признака (y) объясняется влиянием изучаемого фактора (x).

 

; .

 

На основе шкалы Чеддока можно сделать вывод о том, что между выработкой т стажем работы существует прямая высокая связь.64% изменения выработки обусловлено изменением стажа работы рабочих.

7. Оценим существенность параметров регрессионной модели и показателей тесноты связи и дадим оценку надёжности уравнения регрессии.

Значимость параметров простой линейной регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. Рассчитаем значения t-критерия Стьюдента для параметра a₀ и a₁: для параметра а_0, по формуле (14). Для этого рассчитаем средне квадратическое отклонение результативного признака у от выровненных значений у_x по формуле (15):

 

,

 

для параметра a₁ по формуле (16):

 

Для оценки значимости линейного коэффициента корреляции r применяется t-критерий Стьюдента. При этом определяется фактическое (расчетное) значение критерия (t_r^ф). Рассчитаем это значение по формуле (17):

 

 

Для всей совокупности наблюдаемых значений рассчитаем среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии по формуле (19):

 

 (штук).

 

Так как < , то уравнение регрессии целесообразно и может быть использовано в дальнейшем статистическом анализе.

 

81,98 < 133,8423.

 

Так как  (фактическое) >  (критическое), то значение параметра  признаётся существенным, то есть оно не является результатом стечения случайных обстоятельств.

Так как > , то  также признаётся существенным.

Так как > , то связь между произвольностью труда и стажем работы признаётся существенной.

8. Дадим экспериментальную интерпретацию параметров построенной регрессионной модели. Так как коэффициент регрессии  > 0, то это подтверждает теоретические представления о прямой зависимости между выработкой и стажем работы. Значение = 83,84 шт. можно интерпретировать так: при увеличении стажа на 1 год выработка увеличивается на 83,84 шт.

Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле (20), который показывает среднее изменение результативного признака при изменении факторного признака на 1%:

 

%.

 

То есть при увеличении стажа на 1% их выработка увеличивается на 0,88%.

9. Укажем доверительные границы, в которых будет находиться прогнозное значение уровня производительности труда рабочего бригады, если стаж его работы составит 10,5 лет при уровне доверительной вероятности 95% по формуле (21):

 

 штук

 

Таким образом, с вероятностью 95% можно ожидать, что при стаже работы работника 10,5 лет составит не менее 956 штук и не более 1040 штук.