ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Способы решения в зависимости от вида правой части. (каждый вид правой части – отдельный билет)

Вопросы к экзамену по дисциплине «Математический анализ»

Семестр

 

(материал 1-го семестра)

1. Понятие множества и подмножества. Основные законы алгебры множеств.

2. Раскрытие неопределённостей, связанных с алгебраическими функциями. Раскрытие неопределённостей вида и .

3. Первый и второй замечательные пределы.

4. Определение производной. Механический смысл производной

5. Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции.

6. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия (возрастание и убывание функции).

7. Точки минимума и максимума. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции.

8. Выпуклость графика функции, точки перегиба. Достаточные условия существования точек перегиба.

9. Общая схема исследования функции и построение графика.

10. Наибольшее и наименьшее значения в замкнутой области. Глобальный экстремум.

11. Частное и полное приращения функции двух переменных. Частные производные функции двух переменных.

12. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

13. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции.

14. Условный экстремум функции двух переменных.

15. Полный дифференциал функции, его приложения.

16. Приложение полного дифференциала к приближённым вычислениям. Линеаризация функции в окрестности точки.

17. Полная производная, вывод, частные случаи.

18. Метод наименьших квадратов.

 

(материал 2-го семестра)

19. Понятие неопределённого интеграла.

20. Свойства неопределённого интеграла.

21. Простейшие методы нахождения неопределённого интеграла: непосредственное интегрирование, замена переменной, внесение под знак дифференциала, интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей разложением на простейшие и выделением полного квадрата. 

22. «Неберущиеся» неопределённые интегралы.

23. Задача о вычисление площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определенного интеграла.

24. Свойства определённого интеграла.

25. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла.

26. Методы нахождения определённого интеграла: замена переменной,

интегрирование по частям. 

27. Вычисление площади плоской фигуры.

28. Несобственные интегралы первого и второго рода.

29. Комплексные числа. Решение алгебраических уравнений второго порядка при D<0.

30. Понятие дифференциального уравнения: определение, порядок ДУ, общее и частное решение.

31. Геометрическое изображение решения дифференциального уравнения первого порядка. 

32. Задача Коши для ДУ 1-го порядка. Алгоритм решения ДУ 1-го порядка с заданными начальными условиями.

ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Определение, метод решения.

34. Однородные ДУ первого порядка. Определение, метод решения.

Линейные ДУ первого порядка. Определение, метод решения.

Линейные ДУ высших порядков.

37. Решение ДУ высших порядков понижением степени ДУ.

ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, структура общего решения. Принцип наложения.

ЛНДУ 2-го порядка – решение методом вариации произвольной постоянной.

ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Способы решения в зависимости от вида правой части. (каждый вид правой части – отдельный билет)

42. Эластичность функции. Эластичность спроса по цене. Эластичность предложения по цене.

43. Числовые ряды, основные определения.

44. Свойства числовых рядов.

45. Необходимый признак сходимости числового ряда.

46. Гармонический и обобщённый гармонические ряды. Сходимость обобщённого гармонического ряда (вывести, используя интегральный признак сходимости).

47. Признаки сравнения числовых рядов с неотрицательными членами.

48. Предельный признак Даламбера сходимости ряда.

49. Интегральный признак сходимости рядов.

50. Радикальный признак Коши сходимости ряда.

51. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость.

52. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

53. Функциональный ряд.

54. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса (самостоятельно).

55. Степенные ряды. Область сходимости степенных рядов. Теорема Абеля.

56. Теорема о единственности разложения в степенной ряд (самостоятельно).

57. Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена.

58. Разложение в ряд некоторых элементарных функций (функции , , ) (в разных билетах разные функции).

59. Приложения степенных рядов к приближённым вычислениям определённых интегралов.