Анализ прохождения сигнала через первый линейный фильтр

Содержание

 

Введение . 5

Основная часть . 7

Основные положения . 7

Анализ прохождения сигнала через первый линейный фильтр . 8

Анализ прохождения сигнала через нелинейный элемент (НЭ) 15

Анализ прохождения сигнала через второй линейный фильтр . 19

Расчет основных параметров и зависимостей . 22

Заключение . 27

Список использованной литературы. 28

 

Введение

 

Современное совершенствование радиотехнических систем приводит к повышению дальности связи и повышению помехоустойчивости работы. Повышение дальности работы систем при ограничении мощности передатчиков возможно только при максимальной чувствительности приемников. При этом приемник работает в таком режиме, когда уровень входного сигнала сравним с внутренними шумами самого приемника. Зачастую ведется прием сигнала “под шумом”.

При таких условиях становится необходимым каким-либо образом описать шумы, носящие случайный непредсказуемый характер.

Целью данной работы является изучение существующих методов анализа радиотехнических устройств при случайных воздействиях.

Данная работа позволяет смоделировать прохождение полезного сигнала на фоне различных шумов, практически имеющих место в радиотехнических системах, через типовое радиотехническое звено. Исследуется влияние на характер этого прохождения различных параметров элементов звена.

Расчет прохождения сигнала ведется одновременно во временной и частотной области, на уровне корреляционных функций и спектров мощности. Это позволяет более полно исследовать характер прохождения сигнала, а также упростить расчеты и выводы основных формул. При расчетах входное воздействие предполагается стационарным в широком смысле. Исследование производится для установившегося режима, после окончания переходных процессов.

Основным упрощением и отличием предложенного к расчету типового радиотехнического звена от реальных систем является то, что нелинейный элемент предполагается неинерционным, а инерционные фильтры предполагаются линейными. Данное упрощение основано на том, что расчет прохождения случайных процессов через нелинейный инерционный элемент представляет собой чрезвычайно сложную, подчас неразрешимую задачу. С другой стороны, при определенных условиях можно пренебречь инерционностью нелинейного элемента и нелинейностью фильтров. Расчет отдельно нелинейного безынерционного и линейного инерционного элементов хорошо разработан и описан в литературе [2].

Основная часть

Основные положения

 

Структурная схема типового радиотехнического звена показана на рисунке 2.1.

 

 

Рисунок 2.1 Структурная схема типового радиотехнического звена.

 

Временные реализации случайных процессов обозначаются в соответствии с рис.2.1 буквами U, X, Y и Z. Спектральная плотность мощности и корреляционная функция обозначаются соответственно  и , с соответствующим индексом.

Соотношение между спектральной плотностью мощности и корреляционной функцией устанавливается теоремой Винера - Хинчина [2]. Математическая запись этой теоремы имеет вид:

                                           ,                         (2.1)

                               .                                 (2.2)

Зная , можно, используя ее свойства [1,2], следующим образом определить математическое ожидание  и дисперсию  случайного процесса:

,                                           (2.3)

                                                   .                            (2.4)

Для линейных неинерционных систем выполняется [2] следующее равенство:

 

,                     (2.5)

 

где - коэффициент передачи системы.

Время корреляции и эффективная полоса случайного процесса определяются [1] соответственно следующими выражениями:

                                      ,                              (2.6)

                                       ,                            (2.7)

где - ковариационная функция, а - значение энергетического спектра при некоторой характерной частоте, обычно соответствующей максимуму.

 Коэффициент корреляции по определению [2] равен:

                                            .                                    (2.8)

Анализ прохождения сигнала через первый линейный фильтр

Первый линейный фильтр представляет собой одноконтурный резонансный усилитель, настроенный на частоту . Его АЧХ определена в задании и определяется следующим выражением:

            .

График АЧХ первого фильтра показан на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 АЧХ первого линейного фильтра.

 

Входное воздействие представляет собой сумму полезного сигнала и белого шума.

 Белый шум имеет спектр мощности  и корреляционную функцию .

Корреляционная функция полезного сигнала находится как математическое ожидание произведения значений случайного процесса в два различных момента времени . В данном случае полезный сигнал – квазидетерминированный процесс с корреляционной функцией  и энергетическим спектром .

В сумме входное воздействие имеет следующие характеристики:

,                               (2.9)                (2.10)

Графики корреляционной функции и одностороннего энергетического спектра приведены на рисунках 2.3 и 2.4.

Рисунок 2.3 Корреляционная функция входного воздействия.

     Рисунок 2.4 Энергетический спектр входного воздействия.

Пользуясь формулой (2.5), спектр мощности сигнала на выходе первого фильтра можно определить следующим выражением:

.Двумя слагаемыми, соответствующими составляющим спектра, не пропускаемым фильтром, из-за малости пренебрегаем. Рабочее выражение для энергетического спектра приобретает вид:

(2.11)

График спектра мощности сигнала на выходе первого фильтра показан на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 Спектр мощности сигнала на выходе первого фильтра.

 

Корреляционная функция сигнала на выходе первого линейного фильтра, согласно (2.2), находится как обратное преобразование Фурье от энергетического спектра и вычисляется следующим образом:

Вычислим каждый интеграл отдельно. По свойству дельта – функции, она отлична от нуля только тогда, когда аргумент равен нулю. Используя это свойство, найдем третий и четвертый интегралы:

Первый и второй интегралы вычислим при помощи теории вычетов. По основной теореме о вычетах известно, что если функция f(z) аналитична в ограниченной односвязной области, за исключением конечного числа изолированных особых точек, то ее интеграл по замкнутому контуру g, лежащему в этой области, равен сумме вычетов, соответствующих особым точкам, охваченным этим контуром.

                   

Для первого и второго интегралов получаем:

Перейдя в интегралах к комплексной частоте  и заменив линейное интегрирование в бесконечных пределах интегрированием по замкнутому контуру, получим первый интеграл:

.

Подынтегральная функция имеет следующие особые точки:

.

Мы будем замыкать контур в верхней полуплоскости, и потому накладываем ограничение . Тогда в контур попадет один полюс  :

.

Значение интеграла  определяется, согласно теории вычетов [1], следующим образом:

.

Аналогично получим второй интеграл:

.

В сумме имеем

Если бы мы замкнули контур интегрирования в нижней полуплоскости, то получили бы те же самые выражения при условии . Объединяя оба случая, получаем модуль в окончательном выражении:

                         (2.12)

Огибающая корреляционной функции сигнала на выходе первого линейного фильтра изображена на рисунке 2.6.

Рисунок 2.6 Огибающая корреляционной функции сигнала на выходе первого фильтра.

Легко заметить, что фильтр обрезал спектр белого шума “окрасив” его, и сохранил спектр полезного сигнала. В этом и состоит избирательность фильтра.

Поскольку случайный процесс на выходе первого линейного фильтра содержит квазидетерминированную составляющую, то пользоваться выражениями (2.3) и (2.4) для получения математического ожидания и дисперсии нельзя. Тогда учтем, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий. Пользуясь выражением (2.3), получим математическое ожидание шумовой составляющей . Математическое ожидание сигнальной составляющей вычислим по определению

Суммарное математическое ожидание , и дисперсию всего отклика находим по формуле:

.

Используя формулы (2.6) и (2.7) для шумовой составляющей и , время корреляции и эффективную полосу процесса на выходе первого линейного фильтра (для этого процесса  так как ) определяю соответственно следующим образом:

,

.

Графики полученных зависимостей показаны ниже.

 

Рисунок 2.7 Зависимость дисперсии процесса на выходе первого линейного фильтра от его полосы пропускания.

Рисунок 2.8 Зависимость времени корреляции процесса на выходе первого линейного фильтра от его полосы пропускания.