Вычисление кратных интегралов
Обычно при вычислении кратных интегралов методом Монте-Карло используют один из двух способов. Первый способ. Пусть требуется вычислить кратный интеграл
(3.1)
по области G, лежащей в мерном единичном кубе
Выберем равномерно распределённых на отрезке последовательностей случайных чисел
Тогда точки можно рассматривать как случайные, равномерно распределённые в мерном единичном кубе. Пусть из общего числа случайных точек точек попали в область G, остальные оказались вне G. Тогда при достаточно большом имеет место приближенная формула:
(3.2)
где под понимается мерный объём области интегрирования. Если вычисление объёма затруднительно, то можно принять , и для приближенного вычисления интеграла получим:
(3.3)
Указанный способ можно применить к вычислению кратных интегралов и для произвольной области , если существует такая замена переменных, при которой новая область интегрирования будет заключена в мерном единичном кубе. Второй способ. Если функция , то интеграл (3.1) можно рассматривать как объём тела в мерном пространстве, т.е.
(3.5)
где область интегрирования определяется условиями Если в области , то введя новую переменную , получим
где область лежит в единичном мерном кубе Возьмём равномерно распределенных на отрезке случайных последовательностей
Составим соответствующую последовательность случайных точек Пусть из общего числа случайных точек точек принадлежат объёму , тогда имеет место приближенная формула
(3.6) Практическая часть Пример 1
Вычислим приближенно интеграл Точное значение его известно: Используем для вычисления две различные случайные величины , с постоянной плотностью (т.е. равномерна распределена в интервале ) и с линейной плотностью .Линейная плотность более соответствует рекомендации о пропорциональности и . Поэтому следует ожидать, что второй способ вычисления даст лучший результат. 1) Пусть , формула для разыгрывания имеет вид . А формула (2.2) примет вид . Пусть . В качестве значений используем тройки чисел из табл. 1 (см. приложение), умноженные на 0.001. Промежуточные результаты сведены в табл. 2.1. Результат расчёта
Таблица 2.1
2) пусть теперь . Для разыгрывания используем формулу
,
откуда получаем
формула (2.2) имеет вид
Пусть . Числа выберем те же, что и в случае 1. Промежуточные результаты сведены в табл. 2.2. Результат расчёта
Таблица 2.2
Как и ожидалось, второй способ вычислений дал более точный результат. 3) По значениям, приведённым в таблицах (2.1) и (2.2) можно приближенно сосчитать дисперсии для обоих методов расчёта: для 1:
для 2:
Несмотря на то, что значение невелико и приближенная нормальность оценки (2.2) не гарантирована, вычислим для обоих методов величины . Получим значения 0.103 и 0.027. Также фактические абсолютные погрешности при расчёте , равные 0.048 и 0.016, – величины того же порядка. Точные же значения в рассмотренном примере равны 0.233 и 0.0166. Таким образом, и при оценке дисперсий метод 2 оказался точнее метода 1.
Пример 2
Рассмотрим пример: Требуется вычислить интеграл
(3.4)
где область G задаётся следующими неравенствами: Область интегрирования принадлежит единичному квадрату . Для вычисления интеграла воспользуемся таблицей случайных чисел (см. приложение), при этом каждые два последовательных числа из этой таблицы примем за координаты случайной точки . Записываем координаты и случайных точек в табл. 3.1, округляя до 3 знаков после запятой, и выбираем те из них, которые принадлежат области интегрирования. Заполним табл. 3.1 по правилу: 1) Среди всех значений выделяем те, которые заключены между и .Для этих значений полагаем , для всех остальных 2) Среди всех значений . Соответствующих выделенным , выбираем те, которые заключены между Для этих значений полагаем , для всех остальных
Таблица 3.1
3) Вычисляем . Области тнтегрирования принадлежат только те точки, для которых . В примере 4) Вычисляем значения подынтегральной функции в полученных точках. После заполнения табл. 3.1 вычисляем площадь области интегрирования и по формуле (3.2) находим Для сравнения приведём точное значение интеграла Результат имеет сравнительно небольшую точность потому, что число точек недостаточно велико.
Пример 3 Рассмотрим пример: найдём приближенно объём, ограниченный поверхностями
Искомый объём численно равен величине интеграла
(3.7)
Так как в области V , вводим новую переменную , в результате чего интеграл (3.7) переходит в интеграл
(3.8)
где область, ограниченная поверхностями
т.е. принадлежит единичному кубу . Берём теперь три равномерно распределенные на отрезке последовательности случайных чисел и записываем их в качестве координат случайных точек в табл. 3.2. Затем проверяем, какие из этих точек принадлежат области .
Таблица 3.2
Заполним табл. 3.2 по правилу: 1) выделяем точки, у которых , и полагаем для них 2) среди выделенных точек области принадлежат те, для которых выполняется неравенство . Для этих точек , для остальных 3) вычисляем . Области принадлежат те точки, для которых 4) среди точек, у которых , области принадлежат те точки, координаты которых удовлетворяют неравенству Для этих точек . В примере общее количество точек , а число точек, принадлежащих области , равно 15. По формуле (3.6) получаем , а точное значение объёма равно Погрешность формулы (3.6) обратно пропорциональна корню из числа испытаний, т.е. . Это означает, что для обеспечения большой точности число точек должно быть очень велико. Но так как приближенные формулы (3.3), (3.6) не зависят от размерности интеграла, метод Монте-Карло оказывается выгодным при вычислении интегралов большой размерности.
Заключение
Процесс выполнения данной работы представлял большой интерес и послужил хорошей возможностью для приобретения новых знаний и навыков, а также закрепления уже полученных. Были рассмотрены основные свойства метода Монте-Карло и создана программа, показывающая возможности данного метода при использовании ЭВМ. Было выяснено, что методом Монте-Карло можно решать разнообразные задачи, в том числе вычисление интегралов, не прибегая к сложным математическим вычислениям. Простота алгоритма метода Монте-Карло позволяет успешно реализовывать их на ЭВМ.
Список литературы
1. Бусленко Н.П. Метод статистического моделирования – М.: Статистика, 1970. – 112 с. 2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1966. – 664 с. 3. Епанешников А.М., Епанешников В.А. Программирование в среде TURBO PASCAL 7.0 – М.: Диалог-МИФИ, 1998. – 288 с. 4. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы – М.: Наука, 1975–472 с. 5. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 367 с. 6. Соболь И.М. Метод Монте-Карло – М.: Наука, 1985. – 80 c.
Приложения
1. Таблица 400 случайных цифр
2. Таблица 40 случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке
3. Листинг программы Вычисляются значения кратных интегралов из примера 2–3. program pmk; uses crt; var w, u, h, k, v, y, p, s, g, x, x2, y2, z2, niu, Integral, Integral2:real; n, m, i, a, b, e1, e2, e, e3, e4, e5:integer; begin clrscr; writeln ('vychisleniye dvoynogo integrala iz primera 1'); writeln ('vvedite kolichestvo sluchaynykh tochek:'); readln(n); for i:=1 to n do begin g:=random; p:=random; x:=g; y:=p; if ((0.5<=x) and (x<=1)) then e1:=1 else e1:=0; if ((0<=y) and (y<=2*x-1)) then e2:=1 else e2:=0; e:=e1*e2; if e=1 then s:=s+x*x+y*y; if e=1 then a:=a+1; v:=1/4; delay(1000); end; Integral:=(v/a)*(s); writeln ('summa=', s:5:5); writeln ('dvoynoy integral iz 1 primera =', Integral:5:5); writeln ('vychisleniye troynogo integrala iz primera 2'); writeln ('vvedite kolichestvo sluchaynykh tochek:'); readln(m); for i:=1 to m do begin w:=random; u:=random; h:=random; x2:=w; y2:=u; niu:=h; if niu<=0.8 then e3:=1; if (x2–0.5)*(x2–0.5)+(y2–0.5)*(y2–0.5)<=(0.5)*(0.5) then e4:=1 else e4:=0; e5:=e3*e4; if (((0.8<niu) and (niu<1)) and ((x2–0.5)*(x2–0.5)+(y2–0.5)*(y2–0.5)+6.25*(niu-0.8)*(niu-0.8)<=(0.5)*(0.5))) then e5:=1; if e5=1 then b:=b+1; delay(1000); end; Integral2:=2.5*(b/m); writeln ('kvo pod t =', b:5); writeln ('troynoy integral iz 2 primera =', Integral2:5:5); readln; end.
4. Пример работы программы при 10000 случайных точек
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (166)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |