Показательные неравенства

 

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a > 1, неравенство

a ^f(x) > a ^g(x)

 

равносильно неравенству

f(x) > g(x).

Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x) ; f(x) < g(x).

 

A.2. Если 0 < a < 1, неравенство

a ^f(x) > a ^g(x)

 

равносильно неравенству

f(x) < g(x).

Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x) ; f(x) > g(x).

 

A.3. Неравенство

 

[h(x)] f(x) > [h(x)] g(x)

(1)

 

равносильно совокупности систем неравенств

 

		h(x) > 1,
		f(x) > g(x),
		0 < h(x) < 1,
		f(x) < g(x).

 

Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай

 

	h(x) = 1,
	x  D(f); D(g),

 

где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).

A.4. Если b ≥ 0, неравенство

a^f(x) < b

 

не имеет решений (следует из свойств показательной функции).

A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства a^f(x) > b является x D(f).

A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство

a^f(x) > b

 

равносильно неравенству

f(x) > log_ab.

Аналогично, a ^f(x) < b ; f(x) < log_ab.

 

A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство

a ^f(x) > b

 

равносильно неравенству

f(x) < log_ab.

Аналогично, a ^f(x) < b ; f(x) > log_ab.

 

Упражнение 1. Решить неравенства:

 

a)
b) (0.3)|2x-3| < (0.3)|3x+4|,
c)

 

Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство

 

 

которое решается методом интервалов,

 

 

b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство

 

|2x-3| > |3x+4|,

 

которое решается, используя свойства модуля (|a| > |b|  (a-b)(a+b) > 0):

 

|2x-3| > |3x+4|  ((2x-3)-(3x+4)) ((2x-3)+(3x+4)) > 0 (-x-7)(5x+1) > 0

 

Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x  (-7;-¹/₅).

c) Используя утверждение A.3, получим

 

4x2+2x+1 > 1, x2-x > 0, 4x2+2x+1 < 1, 4x2+2x+1 > 0, x2-x < 0

x > 0, x < -12, x > 1, x < 0, x  (-12;0), x R, x (0;1).

 

 

 

x  (- ; -12) (1;+ ), x

x (- ;- 12) (1;+ ).

Заключение

 

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

 

Список литературы

1. Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975

2. Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004

3. М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998.

4. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980

5. Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 1970