Логическая и рационалистическая интерпретации вероятности

Первая попытка логической интерпретации вероятности была предпринята известным английским экономистом Д.М.Кейнсом. Он был недоволен классической интерпретацией вероятности и в особенности тем принципом индифференции, который использовался для определения исходных вероятностей. Ясно осознавая непригодность интерпретации вероятности, которая встречается в экономической статистике, с помощью равновозможных событий, Кейнс стал рассматривать ее как определенное логическое отношение между известными ученому данными и тем заключением, которое основывается на них. Поскольку разные ученые могут по-разному оценивать те же самые данные, постольку впоследствии его интерпретацию сторонники частотной точки зрения стали критиковать как субъективистскую.

На самом же деле, это была совершенно новая интерпретация, принципиально отличавшаяся от частотно-статистической тем, что она опиралась не на исследование отношений между объективно существующими массовыми случайными событиями, а анализ логических отношений, которые существуют между определенными высказываниями. Для ясности можно представить такие отношения в виде гипотезы и подтверждающих ее данных. Если, например, мы обозначим все эмпирические факты, подтверждающие гипотезу, символом E и будем называть его свидетельством, то основанная на них гипотеза H будет находиться к ним в определенном вероятностном отношении. Символически это отношение можно выразить так: P(H/E), где P обозначает вероятностное отношение, H – гипотезу и E – эмпирическое свидетельство, представляющее конъюнкцию высказываний о подтверждающих фактах.

Кейнс указывал, что отношение между H и E имеет вполне объективный, или скорее интерсубъективный характер, ибо оно не зависит от веры субъекта. Перед каждым исследователем, занимающимся изучением реальных явлений, существует определенная совокупность релевантных фактов, от которых зависит правдоподобность гипотезы и поэтому всякий должен считаться с ними. Так, если мы принимаем факты и доводы, которые приводит Ч.Дарвин в обоснование своей гипотезы об эволюционном происхождении видов растений и животных, то должны согласиться и с гипотезой, если мы рассуждаем рационально. Таким образом, кейнсовскую интерпретацию не следует смешивать с субъективной. Она объективна в логическом плане, хотя и не объектна, так как непосредственно не относится к реальному, предметному миру.

Во-вторых, Кейнс не дает никакого логического определения рассматриваемой им вероятности. Вероятностные логические отношения постигаются интуитивно, так же как и исходные значения вероятностей. В этом состоит самый слабый пункт его интерпретации, с которым связаны другие ее недостатки. Ведь интуитивные прозрения, крайне важные в процессе поиска и исследования, нуждаются в экспликации, чтобы судить о них непредвзято и рационально.

В-третьих, Кейнс, хотя и допускает количественную измеримость целого ряда вероятностей, все же считает, что многие из них являются не только не соизмеримыми численно, но и несравнимыми. Появившаяся вскоре статистическая интерпретация вероятности, которая открыла широкие возможности для вычисления вероятностей массовых случайных событий, отодвинула в сторону кейнсовский подход. В сущности, Кейнс был интересен для теоретиков и практиков статистического подхода к вероятности как проницательный критик классической концепции вероятности, во многом способствовавший поискам и утверждению новой интерпретации.

Значительно большой интерес со стороны ученых вызвал подход к истолкованию вероятности, развитый в фундаментальном труде английского геофизика Г.Джеффриса “Теория вероятностей” (Jeffreys H. The theory of probability. Oxford, 1939). Основываясь на идее Кейнса, он разработал более удовлетворительную аксиоматическую систему вероятностей, которую можно было легче применить на практике. Более того, он считал, что логический подход к вероятности является единственно возможным. Такой подход, по его мнению, предполагает, что индукция является более общим методом, чем дедукция. В связи с этим он решительно выступал против попыток рассматривать индукцию как скрытую дедукцию или же про простой прием выдвижения правдоподобных догадок. Известно, что в истории методологии было немало попыток редукции индукции к дедукции, чтобы обосновать приемлемость индуктивных умозаключений. Такие попытки шли именно в русле обоснования, или скорее, оправдания индукции как законного способа рассуждений. В этих целях чаще всего обращались к так называемому индуктивно-дедуктивному силлогизму, в котором общей посылкой служило утверждение о свойствах некоторой области явлений и даже о единообразии мира в целом. Меньшая же посылка содержала информацию о наблюдаемых явлениях и их свойствах. Таким способом общее свойство или закономерность оправдывали применимость индуктивного заключения к ненаблюдавшимся явлениям или будущим событиям.

После критики Д.Юма такие попытки были признаны несостоятельными, хотя мнение о том, что индукция представляет собой скрытую дедукцию, высказывалось даже таким логиком и философом как Б.Рассел, по крайней мере, в начальный период научной деятельности. В противоположность этому Г.Джеффрис вместе с известным физиком Н.Кемпбеллом заявляли, что скорей всего дедукцию можно рассматривать как скрытую индукцию. В подтверждение этого Джеффрис ссылался на то, что некоторые из постулатов фундаментального труда Б.Рассела и А.Н.Уйтхеда представляют собой индуктивные обобщения и потому не стали убедительными для других математиков, занимающихся проблемами обоснования своей науки.

Джеффрис также выступает против того, чтобы считать индуктивные обобщения простыми догадками. Не упоминая прежних авторов, отметим, что в последние годы, по сути дела, именно такой точки зрения придерживался основоположник критического рационализма К.Поппер. Он считал обобщения в эмпирических науках простыми догадками и потому отрицал значение индукции как научного метода вообще. Нам нет необходимости входить здесь в подробное освещение этого вопроса. Достаточно лишь отметить, что при таком подходе рост научного знания превращается в ничем недетерминированный процесс догадок и опровержений.

Возвращаясь к анализу принципов вероятностной логики Джеффриса, отметим, что он с самого начала рассматривает индукцию как более общий процесс рассуждений, чем дедукция. Если последняя “ограничивается простыми ответами “да”, “нет” или “не следует”, то индуктивная логика должна расщепить соответствующую альтернативу... на множество других, и сказать, какая из них является наиболее разумной, чтобы верить в нее при имеющихся свидетельствах” (7, p. 7). Отсюда становится ясным, что в силу своей общности индукция должна содержать больше постулатов, чем дедукция.

Джеффрис резко выступает против частотной интерпретации вероятности и попыток ее определения в терминах бесконечного числа наблюдений потому, что на практике невозможно осуществить такое их количество и самое главное потому, что мы не можем сделать наши фундаментальные принципы зависящими от наблюдений. Если такие наблюдения неизвестны, тогда мы не можем знать наши фундаментальные принципы и, следовательно, не обладаем исходным пунктом для рассуждения. С другой стороны, допущение об априорных свойствах будущих наблюдений запрещается принципом эмпиризма.

Главной конструктивной идеей при определении вероятности, по мнению Джеффриса, должно стать утверждение, что мы можем иметь определенную “степень доверия, которую можно разумно приписать суждению, даже, если мы не в состоянии доказать ее или опровергнуть дедуктивно” (7, p. 15). Факты свидетельствуют о том, что эта степень разумной веры изменяется в соответствии с изменением данных, относящихся к вероятностному суждению. Рациональность, или разумность, степени веры в значительной мере обусловлена именно этим обстоятельством. “Наша фундаментальная идея, – пишет Джеффрис, – заключается в том, что нельзя больше говорить о вероятности суждения как таковой, но следует всегда указывать, что речь идет о вероятности суждения p при данных q” (7, p. 15). Вторая важная идея касается сравнения различных вероятностей друг с другом по их степени. Хотя в реальной практике люди могут расходиться в их оценке, тем не менее можно постулировать, что вероятности суждений могут быть упорядочены. При этом вероятности, предостерегает Джеффрис, не должны относиться к реальному миру. Они выражают индуктивное отношение между посылками и заключением и в существенной мере определяются посылками. Если обозначить эти данные или посылки символом q, то вероятность суждения p по отношению к q может быть больше, меньше или равно r. Тем самым достигается сравнение вероятностей суждений не только в количественных, но и сравнительных терминах, причем последнее предшествует измерению с помощью чисел. Там, где нет возможности дать точную численную оценку, можно ограничиться сравнением вероятностей в общем виде. Эти соображения можно выразить в виде следующих аксиом.

Аксиома 1. При данном p суждение q более, равно или менее вероятно, чем r.

Вероятностное отношение между суждениями должно удовлетворять принципу транзитивности, который выражается в аксиоме 2.

Аксиома 2. Если p, q, r, s являются четырьмя суждениями, и при данном p, q более вероятно, чем r, а r более вероятно, чем s, тогда q при данном p будет более вероятно, чем s.

Рассматривая в качестве крайних значений степени вероятности достоверность и невозможность, можно сформулировать аксиому 3.

Аксиома 3. Все суждения, выводимые из суждения p, имеют ту же самую вероятность при данном p, а все суждения, несовместимые с p, имеют одинаковую вероятность при данном p.

Как нетрудно заметить, эта аксиома вводится для согласования результатов дедуктивной логики с индуктивной, которая строится как обобщение дедуктивной логики.

Аксиома 4. Если суждения q и q ‘, с одной стороны, и суждения r и r ‘, с другой, взаимно исключают друг друга при данном p, и если при данном p суждения q и r, и q ‘ и r ‘ одинаково вероятны, тогда при том же p соответствующие дизъюнктивные суждения q" Uq ‘ и r Ur ‘ будут равновероятны.

Аксиома 5. Множество возможных вероятностей при соответствующих данных, упорядоченных отношением “более вероятно, чем”, может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с множеством действительных чисел в возрастающем порядке.

В принципе, как мы видели, оценку вероятности можно производить и в сравнительных терминах, но введение чисел значительно облегчает дело, так как позволяет использовать математическую технику. Установление взаимно однозначного соответствия между вероятностями и действительными числами достигается с помощью соглашения, по которому большей вероятности суждения приписывается большее число. Для численного выражения вероятностей используется следующая формула: P(q/p), где P обозначает численное значение вероятностной функции, аргументом которой служит высказывание p, а значением функции q. Необходимо, однако, не смешивать численное значение с самой вероятностью, ибо вероятность, согласно Джеффрису, означает разумную степень веры и не тождественна с числом, используемым для ее выражения (7, p. 20).

Аксиома 6. Если pq влечет r, тогда P(qr/p) = P(q/p). Эта аксиома есть расширение аксиомы 3, и утверждает, что все эквивалентные суждения будут иметь одинаковую вероятность при тех же самых данных.

Из перечисленных аксиом могут быть выведены дальнейшие следствия, или теоремы. Само построение теории вероятностей осуществляется Джеффрисом значительно проще, чем Рейхенбахом, который вынужден вводить ряд сомнительных допущений, хотя оба они стремятся найти единую основу для определения и объективной, и логической вероятности. Но если Рейхенбах, как мы видели, идет от частотной интерпретации, подгоняя под нее даже события частные, и допускает субъективную оценку суждений задним числом, то Джеффрис с самого начала говорит об определении вероятности с помощью степени разумной веры. В заключительном историческом обзоре, в 8 главе, он обосновывает свой подход ссылками на концепции таких классиков теории вероятностей, как Лаплас, Бернулли, Бейес, которые “закладывали основания для здравого смысла и индуктивной логики” (7, p. 404). Уже сам заголовок классического труда Я.Бернулли “Искусство догадок” ясно свидетельствует в пользу этого мнения.

По мнению Джеффриса, даже статистики, выступающие в защиту частотной интерпретации, в практических исследованиях руководствуются не столько такими эмпирическими соображениями, а тем более формальными определениями, сколько разумной степенью доверия к высказываемым гипотезам и будущим прогнозам. Как и представители субъективного, или точнее, персоналистского направления в трактовке вероятности, Джеффрис справедливо замечает, что зачастую реальные действия людей гораздо лучше говорят о действительной оценке их суждений, чем чисто словесные формулировки и обоснования.

В отличие от унитаристского подхода к интерпретации вероятности Р.Карнап считает вполне оправданными две основные ее формы, которые он обозначает как вероятность 1 и вероятность 2 .

В последних своих работах он наиболее ясно поясняет различие между этими двумя понятиями вероятности с помощью процесса принятия решений.

Схему такого процесса в общих чертах можно представить так. Существует множество альтернативных, или возможных действий для субъекта X. В некоторый момент времени T субъект должен принять решение из этого множества A 1 , A 2, ... A k , число которых конечно. Правильное решение, соответствующее реальному положению дел, ему неизвестно, но оно находится среди элементов множества B 1, B 2 , ... B m. Если обозначить функцию полезности для X символом U x(O k , m) и вероятность некоторого состояния дел через P(B m), тогда можно определить величину субъективного значения (желательности) возможного действия A k  для X в момент времени T:

V x,т(A k)= a м [U x(O к,м) P(B м)],

где P(B м) есть вероятность состояния В к , а сумма охватывает все возможные состояния дел. Другими словами, мы рассматриваем значение действия А к  для X как ожидаемую полезность результата этого действия (8, p. 7).

Согласно правилу принятия решения Бейеса следует выбрать такое действие, альтернативу или возможность, которое максимизировало бы значение ожидаемой полезности V. Это требование может быть реализовано двумя способами: во-первых, обычным, практическим или интуитивным путем, во-вторых, путем наложения определенных требований рациональности. Первый подход характеризуют как дескриптивный, или описательный, способ принятия решений, второй – как рациональный. Соответственно этому различают дескриптивную и нормативную (рациональную) теории принятия решений.

В зависимости от выбора теории находится и соответствующая интерпретация вероятности, которая фигурирует в определении ожидаемой полезности. В связи с этим Карнап выделяет два основных понятия вероятности: статистическую (объективную) и персоналистскую (субъективную).

Как уже отмечалось выше, Карнап в отличие от Джеффриса считает статистическую вероятность самостоятельным понятием, не сводимым к другим. Ее область применения не ограничивается математической статистикой, а охватывает все эмпирические науки, в особенности социально-гуманитарные, хотя значительно раньше она стала применяться в физике, химии и биологии.

Под персоналистской он понимает вероятность, которая приписывается высказыванию или событию H некоторым лицом X, другими словами, это – степень веры X в H (8, p. 8). Карнап считает, что следует различать две версии персоналистской вероятности, одну, представляющую фактическую степень веры, и другую – характеризующую рациональную степень веры.

Возникает вопрос: какое понятие вероятности мы должны использовать в теории принятия решений?

В настоящее время большинство статистиков все еще признают единственно законным только статистическое понятие вероятности. Поскольку оно считается объективным и не зависит от веры субъекта, постольку оно вообще неизвестно субъекту заранее, ибо его значение устанавливается только после определения относительной частоты массового события. Поэтому это понятие не подходит для теории принятия решений. Правда, в некоторых ситуациях персоналистская вероятность может быть равна статистической, но в общем случае более целесообразно использовать в этой теории персоналистскую вероятность.

В свою очередь для дескриптивной теории принятия решений персоналистская вероятность выступает в форме действительной, или фактической, веры определенного лица в некоторый момент времени. Эта вера оказывается, таким образом, субъективной или психологической верой лица и ее законы могут быть установлены посредством конкретных психологических исследований. Подобное ее изложение содержится в книге Я.Козельского “Психологическая теория решений”. О степени фактической веры субъекта в высказывание H можно судить по его действиям, например, когда заключаются пари по какому-либо вопросу или делаются ставки в азартных играх. Вероятность как степень разумной веры отличается от фактической веры тем, что на нее накладываются определенные требования, а именно такая вера должна удовлетворять определенным требованиям рациональности. Одним из основных и важнейших требований является условие, чтобы степени вероятности удовлетворяли законам исчисления вероятностей, а тем самым эти степени согласовывались друг с другом. А это означает, что они не могут быть произвольными. Именно этому условию подчиняются все известные персоналистские интерпретации разумной веры. Даже при психологической интерпретации вероятности степени веры устанавливаются таким образом, чтобы они были когерентными, т.е. согласовывались между собой. Поэтому не может быть такого положения, когда совокупная степень вер превышала единицу.

После анализа понятий фактической и рациональной веры Карнап естественно переходит от этих квази-психологических по существу понятий к чисто логическим. Однако индуктивные понятия Карнап истолковывает совсем по-другому, чем большинство не только старых, но и современных авторов. “Они рассматривают, – пишет он, – индуктивные рассуждения как выводы из некоторых известных высказываний, называемых посылками или свидетельствами, к новому высказыванию, обычно называемому законом или отдельным предсказанием” (8, p. 29). Но с этой точки зрения результатом любого конкретного индуктивного рассуждения является принятие нового утверждения. При таком подходе к индукции мы неизбежно попадаем под огонь критики Д.Юма, ибо создается впечатление, что будто бы для такого принятия существуют какие-то рациональные основания. Поэтому целесообразнее рассматривать индуктивные рассуждения относительно гипотезы H при соответствующем свидетельстве E (которое обычно состоит из конъюнкции высказываний) как приписывание ей вероятности, или степени подтверждения, c: c(H/E) = r. В прежних работах Карнап определял степень подтверждения в терминах предложений, но языки, которые при этом использовались, были весьма бедными и не могли выразить, например, предложения о действительных числах и действительных функциях. Впоследнейработе (Jeffrey R., Carnap R. (eds) Studies in Inductive logic and probability. Vol. 1. Berkeley, 1971) он использует термин “событие”, понимая его в достаточно широком смысле, т.е. рассматривая в качестве событий реальные явления и суждения о них. Поэтому вместо сложной и запутанной техники построения описания состояний, структур и измеряющих функций для них он строит систему индуктивной логики с помощью функций степени подтверждения, которые позволяют определить степени рациональной веры.

Основные свойства этих функций задаются с помощью следующих аксиом.

А1. Аксиома нижней границы: C(H/E) ? O.

А2. Аксиома самоподтверждения: C(E/E) = 1.

А3. Аксиома дополнения: C(H/E) + C(H/-E) = 1.

А4. Общий мультипликационный принцип: если E C H возможно, то C(H C H’/E) = C(H/E) ? C(H’/E C H).

Как нетрудно заметить, четыре перечисленные аксиомы аналогичны обычным аксиомам исчисления вероятностей, но отличаются от них просто интерпретацией вероятности в терминах рациональной степени подтверждения. К сожалению, трудность заключается не столько в различных трактовках самого понятия рациональности, сколько в адекватности применения принципов построенной таким способом индуктивной логики для оценки и анализа научных обобщений и законов. Разумеется, простые эмпирические обобщения о свойствах явлений сравнительно нетрудно истолковать с помощью карнаповской логики, но универсальные законы, хорошо подтвержденные опытами и наблюдениями, оказываются в прежней системе индуктивной логики Карнапа имеющими нулевую вероятность, хотя Я.Хинтикка, кажется, попытался преодолеть эту трудность. Безотносительно к этому в основе идейной установки карнаповской школы в неявной форме ощущается тенденция если не свести индуктивную логику к дедуктивной, то максимально сблизить методы их анализа на семантическом уровне. В конце концов процесс индуктивного как и любого правдоподобного рассуждения не ограничивается простым семантическим анализом вероятностного отношения между гипотезой (индуктивным заключением) и ее свидетельствами (посылками), хотя бы потому, что степень подтверждения гипотезы меняется в зависимости от изменения свидетельств. Поэтому самая главная трудность при построении адекватной системы индуктивной логики состоит даже не столько в том, чтобы научиться строить все более мощные формализованные языки, сколько в возможности отобразить формальными средствами процесс перехода.