Указания по применению программы

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ

ВВЕДЕНИЕ

МЕТОД ДАНИЛЕВСКОГО

УКАЗАНИЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ ПРОГРАММЫ

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

АНАЛИЗ ПРОГРАММЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Теоретические данные

Введение

Большое количество задач с механики, физики и техники требует нахождение собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. таких значений λ, для которых существует нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений . Тут А-действительная квадратичная матрица порядка n с элементами a_jk, а --вектор с компонентами x₁, x₂,…, x_n Каждому собственному значению λ_i соответствует хотя бы одно нетривиальное решение. Если даже матрица А действительная, ей собственные числа (все или некоторые) и собственные векторы могут быть недействительными. Собственные числа являются корнями уравнения , где Е - единичная матрица порядка n

или

Данное уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Собственным векторам , которым соответствует собственному значению λ_i, называют ненулевое решение однородной системы уравнений . Таким образом, задача нахождения собственных чисел и собственных векторов сводится к нахождению коэффициентов характеристического уравнения, нахождению его корней и нахождению нетривиального решения системы.

Метод Данилевского

Простой и изысканный метод нахождения характеристического многочлена предложил А.М.Данилевский. Рассмотрим идею метода. Рассмотрим матрицу A

Для которой находится характеристический многочлен, при помощи подобных преобразований преобразуется к матрице

,

которая имеет нормальную форму Фробениуса, то есть матрица имеет в явном виде в последнем столбце искомые коэффициенты характеристического уравнения. Т. к. подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, а

, то и .

Поэтому для обоснования метода достаточно показать, каким образом из матрицы A строится матрица P.

Подобные преобразования матрицы A к матрице P происходят последовательно. На первом шаге матрица А преобразовывается к подобной до неё матрице А⁽¹⁾, в которой предпоследний столбец имеет необходимый вид. На втором шаге матрица А⁽¹⁾ преобразовывается на подобную к ней матрицу А⁽²⁾, в которой уже два предпоследних столбца имеют необходимый вид, и т.д.

На первом шаге матрица А умножается справа на матрицу

и слева на матрицу ей обратную

Первый шаг даёт

,

где

На втором шаге матрица А⁽¹⁾ умножается справа на матрицу

и слева на обратную к ней матрицу

Очевидно, что элементы матрицы

.

Это означает, что два предпоследних столбца матрицы А⁽²⁾ имеют необходимый вид. Продолжая этот процесс, после n-1 шагов придем к матрице

,

которая имеет форму Фробениуса и подобная к входной матрице А. При этом на каждом шаге элементы матрицы А^(j) находятся по элементам матрицы А^(j-1) также, как мы находили элементы матрицы А⁽²⁾ по элементам А⁽¹⁾. При этом предпологается, что все элементы  отличные от нуля. Если на j-ом шаге окажется, что , то продолжать процесс в таком виде не будет возможно. При этом могут возникнуть два случая:

1. Среди элементов  есть хотя бы один, отличный от нуля, например . Для продолжения процесса поменяем в А^(j) местами первый и -й строчки и одновременно 1-й и -й столбцы. Такое преобразование матрицы А^(j) будет подобным. После того, как получим матрицу , процесс можно продолжать, т.к. столбцы матрицы А^(j),приведённые к необходимому виду не будут испорчены.

2. Все элементы равны нулю. Тогда матрица А^(j) имеет вид , где F- квадратичная матрица порядка j, которая имеет нормальный вид Фробениуса; В—квадратная матрица порядка n-j, но , то есть характеристический многочлен матрицы F является делителем характеристического многочлена матрицы А. Для нахождения характеристического многочлена матрицы А необходимо еще найти характеристический многочлен матрицы В, для которой используем этот же метод.

Подсчитано, что количество операций умножения и деления, необходимых для получения характеристического многочлена матрицы порядка n составляет n(n-1)(2n+3)/2.

На данном этапе работы мы получили характеристический полином, корнями которого будут собственные числа матрицы А. Процедура нахождения корней полинома n-ой степени не проста. Поэтому воспользуемся пакетом MathCAD Professional для реализации данной задачи. Для поиска корней обычного полинома р(х) степени n в Mathcad включена очень удобная функция polyroots(V). Она возвращает вектор всех корней многочлена степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющим длину равную n+1. Заметим, что корни полинома могут быть как вещественными, так и комплексными числами. Таким образом мы имеем собственные числа, при помощи которых мы найдём собственные векторы нашей матрицы А. Для нахождения собственных векторов воспользуемся функцией eigenvec(A,v_i), где А-исходная матрица, v_i-собственное число, для которого мы ищем собственный вектор. Данная функция возвращает собственный вектор дня v_i.

Указания по применению программы

Данная курсовая работа выполнена на языке программирования Pascal. В курсовую работу входит файл danil.exe. Danil.exe предназначен для нахождения характеристического полинома методом Данилевского. Входными параметрами является размерность матрицы и сама матрица, а выходным — характеристический полином.