Теоретические сведения
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 1 Постановка задачи 2 Актуальность 3 Реализация задачи 3.1 Теоретические сведения 3.2 Решение задач с применением данных неравенств 3.3 Сборник задач 3.4 Тесты 4 Инструкция по пользованию Выводы Список использованной литературы ВВЕДЕНИЕ
При решении задач, предлагаемых на вступительных письменных экзаменах и олимпиадах по математике, могут быть использованы любые известные абитуриентам математические методы. При этом разрешается пользоваться и такими, которые не изучаются в общеобразовательной школе. Все это свидетельствует о необходимости самостоятельного изучения абитуриентами математических методов, в основе которых лежат понятия и положения, не входящие в программу по математике общеобразовательной школы. К таким понятиям, например, относятся неравенства Коши, Коши-Буняковского, Бернулли и Йенсена.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Таким образом, целью данной работы является разработка электронного обучающего пособия, в котором будет предложен материал по выбранной теме. Т.е. в учебнике будут предоставлены теоретические сведения по всем неравенствам, примеры применения этих неравенств в решении олимпиадных задач, сборник задач для самостоятельного решения, решения к ним, а также тестовые вопросы, которые позволят оценить себя и проверить уровень полученных знаний. Для реализации поставленной задачи был выбран язык электронной разметки текста HTML.
АКТУАЛЬНОСТЬ
Данная разработка рассчитана на учащихся, которые имеют довольно-таки высокий уровень знаний в области математики, причем как в пределах, так и вне школьной программы, но все равно хотят его повысить. Т.е. этот учебник будет очень полезным для самостоятельного изучения темы и подготовки к олимпиадам ІІ-ІІІ этапов. Также очень удобен и прост в применении, для работы с ним не требуется никаких специальных программ или дополнительных приложений, кроме стандартного Internet-браузера. Важным пунктом является то, что в учебнике собрана информация по теме неравенств, которую в принципе довольно-таки сложно найти, причем так, чтобы она была в одном и том же печатном издании. Большая часть сведений по некоторым неравенствам была найдена только в периодических изданиях, журналах. Здесь же все собрано воедино, информация представлена кратко, но исчерпывающе для того, чтобы разобраться и понять.
РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ
Теоретические сведения
Неравенство Йенсена Теорема (неравенство Йенсена): Пусть – функция, выпуклая на некотором интервале, x1, x 2, …, x n – произвольные числа из этого интервала, а α1, α2, …, αn – произвольные положительные числа, сумма которых равна единице. Тогда:
. (1)
Доказательство: Рассмотрим на графике функции точки А1, А2, …, Аn с абсциссами х1, x2, …, xn. Расположим в этих точках грузы с массами, m2, …, mn. Центр масс этих точек имеет координаты
.
Так как точки А1, А2, …, Аn принадлежат надграфику выпуклой функции, то и их центр масс также принадлежит надграфику (ибо надграфик – выпуклая фигура). А это означает, что ордината центра масс М не меньше ординаты точки на графике с той же абсциссой (рис. 1), т.е.
. (2)
рис. 1
Для завершения доказательства остаётся положить m1= α1, …, mn= αn. Однако есть два важных замечания. Во-первых, в процессе доказательства неравенства Йенсена (1) мы доказали неравенство (2). На самом деле эти неравенства равносильны. Положив в неравенстве (1) (i=1, 2, ..., n), мы получаем неравенство (2). Поэтому естественно эти два неравенства называются неравенствами Йенсена. Неравенство (1) выглядит более компактно, однако для приложений удобней пользоваться неравенством (2). Во-вторых, если функция вогнутая, то для неё неравенства Йенсена (1) и (2) меняются на противоположные. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть выпуклую функцию . Неравенство Коши-Буняковского На первый взгляд, неравенство Йенсена не производит особого впечатления: слишком общо выглядит формулировка. Однако дальше можно убедиться, что это впечатление обманчиво. Продемонстрировать силу неравенства Йенсена можно на конкретном примере. А именно, доказать знаменитое неравенство Коши-Буняковского , где a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn – произвольные положительные числа. Доказательство: Как мы знаем, функция - выпуклая. Напишем для этой функции неравенство Йенсена (2):
, (mi > 0).
Следовательно, . Положив , получим требуемое неравенство. Неравенство Коши При решении многих задач часто используется классическое неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим неотрицательных чисел. Пусть x1, x 2, …, x n – неотрицательные числа. Средним арифметическим этих чисел называется число –
.
Средним геометрическим чисел x1, x 2, …, x n называется число –
.
Теорема 1. Если x1, x 2, …, x n – неотрицательные числа, то имеет место неравенство
. (1)
Причём знак равенства в нем достигается тогда и только тогда, когда все числа равны. Соотношение (1) называется неравенством Коши. При n=2 неравенство Коши следует из очевидного неравенства . Действительно, , откуда
. (2)
Отметим, что знак равенства в (2) имеет место тогда и только тогда, когда x1=x2. Пусть x1, x 2, …, x n – положительные числа. Средним гармоническим (средним пропорциональным) этих чисел называется число –
.
Теорема 2. Если x1, x 2, …, x n – положительные числа, то имеют место неравенства
An ≥ Gn ≥ Hn.
Действительно, применяя к числам неравенство Коши, получаем
, (3)
откуда Gn ≥ Hn. Пусть x1, x 2, …, x n – произвольные числа. Средним квадратическим этих чисел называется число –
.
Теорема 3. Если x1, x 2, …, x n – положительные числа, то имеют место неравенства
Kn ≥ An ≥ Gn ≥ Hn , или . (4)
Причём знак равенства в (4) достигается тогда и только тогда, когда все числа равны. Для двух чисел неравенство (4) можно записать как
,
которое очень легко доказать с помощью простых преобразований. А именно,
аналогично доказывается и для n чисел, откуда Kn ≥ An. Неравенство Бернулли Ещё один способ решения некоторых олимпиадных задач – это использование неравенства Бернулли, которое иногда может значительно облегчить задачу. «Классическое» неравенство Бернулли формируется следующим образом: Теорема. Для x > -1 и произвольного натурального n имеет место
(1)
причем равенство в (1) достигается при x=0, n=0 или n=1. Однако кроме (1) существует и более общее неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства: если n<0 или n>1, то
, (2)
если 0<n<1, то
, (3)
где x > -1. Следует отметить, что равенства (2) и (3) имеют место лишь при x=0. Доказательство(I способ):
, где xi – числа одного и того же знака и .
Применяем метод математической индукции. Проверяем неравенство для n=1: . Неравенство верно. Пусть неравенство верно для n членов, т.е. верно неравенство
.
Умножим его на неотрицательное число 1+xn+1 (оно неотрицательно, т.к. ). Получим:
.
Т.к. xi одного знака, произведения в правой части положительны, и если их отбросить, неравенство только усилится. Получаем:
.
Как мы видим, неравенство верно и для n+1 членов, а значит верно для любых n. Доказательство(II способ): Также применяем метод математической индукции. При n=1 имеем , . Утверждаем, что при n=k неравенство верно: . Тогда при n=k+1 имеем
. Неравенство доказано. Весовое (общее) неравенство Коши Ранее мы рассмотрели так называемое классическое неравенство Коши. Однако очень большое значение имеет также одно важное обобщение неравенства Коши – это общее, или весовое, неравенство Коши. Теорема. Для любых действительных положительных чисел m1, m2, …, mn и для любых неотрицательных x1, x2, …, xn имеет место неравенство
. (1)
Числа m1, m2, …, mn называются весовыми коэффициентами. Неравенство (1) выполняется и для неотрицательных весовых коэффициентов m1, m2, …, mn, но в этом случае необходимо требовать, чтобы знаменатель левой части (1) не превращался в ноль и выражения имели смысл (т.е. не все m1, m2, …, mn равны нулю и числа xi и mi одновременно не равнялись нулю). Понятно, что при m1= m2= …= mn, весовое неравенство Коши превращается в обыкновенное неравенство Коши. Выражение, которое стоит в левой части (1), называется весовым средним арифметическим, а то, которое в правой – весовым средним геометрическим. Неравенство (1), для натуральных m1, m2, …, mn, непосредственно следует из обыкновенного неравенства Коши:
. (2)
Неравенство (1) с неотрицательными рациональными весовыми коэффициентами легко привести к случаю, когда .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (185)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |