Доказательство неравенств. Одинаково упорядоченные

Содержание учебного предмета

Делимость и простые числа. Деление с остатком. Задачи на применение признаков делимости. Общие делители и общие кратные. Алгоритм Евклида. Теорема о простом делителе. Основная теорема арифметики.

Уравнения в целых числах и методы их решения. Решение линейных уравнений с двумя переменными. Модуль (сравнения). Неравенства и рост. Разбиение на пары. Алгебраический метод

Задачи на построение при помощи циркуля и линейки. Метод ГМТ, симметрия. Построение треугольников по трём элементам.

Логические задачи.Решение логических задач составлением таблиц. Решение логических задач с помощью схем. Задачи с конечными множествами. Задачи о лгунах и рыцарях.

Метод вспомогательной окружности .

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Доказательство неравенства Коши. Среднее гармоническое и среднее квадратичное. Доказательство неравенств.

Доказательство неравенств. Одинаково упорядоченные последовательности.

Доказательство неравенств разными способами.

Принцип Дирихле и его применение при решении задач. Понятие о принципе Дирихле. Решение простейших задач на применение принципа Дирихле. Принцип Дирихле в задачах с «геометрической» направленностью.

 Квадратный трёхчлен. Задачи с параметрами. Использование при доказательстве неравенств. Расположение корней квадратного трёхчлена. Квадратный трёхчлен в доказательстве неравенств.

 Планиметрические высокого уровня сложности. Решение задач по планиметрии школьного и олимпиадного курса. Необходимые тригонометрические формулы выводятся из треугольника для углов меньших 90⁰ .

Разбор задач муниципального и регионального этапов ВОШ, олимпиады Эйлера, Ломоносова, и др.

Делимость и простые числа. Деление с остатком. Задачи на применение признаков делимости. Общие делители и общие кратные.. Теорема о простом

делителе. Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках

 Уравнения в целых числах и методы их решения.

Модуль (сравнения). Неравенства и рост. Разбиение на пары. Алгебраический метод (задачи высокого уровня сложности)

Задачи по планиметрии. Вписанные четырехугольники . Параллельность, перпендикулярность, площади. Метод подобия. Инверсия

 Инварианты.

Решение логических задач составлением таблиц. Решение логических

задач с помощью схем. Задачи с конечными множествами. Задачи о лгунах и

рыцарях.

 

 Графы. Изоморфность, степени вершин, деревья, теорема о вершинах и рёбрах

дерева.

Многочлены. Многочлены как алгебраические объекты, и как функциональные.

Равенство многочленов. Функциональные уравнения на множестве

многочленов.

Доказательство неравенств. Одинаково упорядоченные

последовательности. Доказательство неравенств разными способами.

 Принцип Дирихле и его применение при решении задач. Понятие о принципе Дирихле. Решение простейших задач на применение принципа Дирихле. Принцип Дирихле в задачах с «геометрической» направленностью.

 Квадратный трёхчлен. Задачи с параметрами. Использование

при доказательстве неравенств. Расположение корней квадратного трёхчлена. Квадратный трёхчлен в доказательстве неравенств.

Метод математической индукции в олимпиадных задачах. Решение задач на доказательство методом математической индукции школьного и олимпиадного курса. 

Разбор задач муниципального этапа олимпиады, а также регионального этапа, олимпиады Эйлера, Ломоносова, и др.

 

6. Тематическое планирование с определением основных видов учебной деятельности

8 класс

 

	тема	Объём в часах	Основные виды учебной деятельности
	1. Делимость и простые числа.	5
	Деление с остатком. Задачи на применение признаков делимости.	1	Понимание признаков делимости с доказательством
	Общие делители и общие кратные. Алгоритм Евклида.	1	Установка связей между НОД и НОК. Понимание того что НОД двух чисел сохраняется в их линейной комбинации.
	Решение задач.	1	Подбор модуля для накладывания ограничений
	Теорема о простом делителе. Основная теорема арифметики.	1	Понимание единственности разложения на простые множители
	Решение задач.	1	Микроолимпиада. Решение задач.
	2. Уравнения в целых числах и методы их решения. .	4	Решение ключевых задач. Использование различных подходов в решении Диофантовых уравнений
	Решение линейных уравнений с двумя переменными.	1	Исследование систем линейных ур-ний с параметрами.
	Модуль.	1	Подбор модуля для накладывания ограничений
	Алгебраические методы	1	Использование формул сокращённого умножения в задачах теории чисел.
	Неравенства и рост.	1	Использование количественных оценок в задачах теории чисел.
	3. Задачи на построение при помощи циркуля и линейки. Метод ГМТ, симметрия. Построение треугольников по трём элементам. (6 часов)	2
	Метод ГМТ.	1	Анализ, построение, доказательство и исследование в построениях фигур при помощи ГМТ
	Поворот, параллельный перенос, осевая симметрия.	1	Анализ, построение, доказательство и исследование в построениях фигур при помощи преобразований
	4. Логические задачи.	4
	Решение логических задач составлением таблиц.	1	Составление таблиц истинности
	Решение логических задач с помощью схем.	1	Выполнение логических действий
	Задачи с конечными множествами. Задачи о лгунах и рыцарях.	1	Применение идей логики в задачах о лгунах и рыцарях
	Решение задач.	1	Применение идей логики в задачах о лгунах и рыцарях
	5. Метод вспомогательной окружности	4
	Центральные и вписанные углы.	1	Понимание свойств центральных и вписанных углов
	Условие нахождения четырёх точек на одной окружности.	1	Использование метода вспомогательной окружности
	Угол между хордой и касательной.	1	Установление равенства углов при помощи изученной теоремы
	Решение задач.	1	Использование метода вспомогательной окружности
	6. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.	5
	Неравенство Коши. Доказательство неравенств.	1	Понимание и воспроизведение доказательства неравенства Коши.
	Неравенство между ср. гармоническим и ср геометрическим.	1	Понимание и воспроизведение доказательства неравенства между ср. гармоническим и ср геометрическим.
	Неравенство между ср. арифметическим и ср квадратичным.	1	Понимание и воспроизведение доказательства неравенства между ср. арифметическим и ср квадратичным
	Доказательство неравенств	1	Применение классических неравенств при доказательстве неравенств
	Решение задач муниципальной олимпиады	1	Управляемая самостоятельная работа
	7. Доказательство неравенств. Одинаково упорядоченные последовательности.	5
	Одинаково упорядоченные последовательности	1	Понимание теорем об одинаково упорядоченных последовательностях
	Монотонные функции	1	Использование монотонности функций при доказательстве неравенств
	Доказательство неравенств	1	Использование монотонности функций при доказательстве неравенств
	Олимпиада Эйлера	1	Решение ключевых задач
	Региональная олимпиада	1	Решение ключевых задач
	8. Принцип Дирихле и его применение при решении задач	4
	Понятие о принципе Дирихле.	1	Понимание принципа Дирихле
	Решение простейших задач на применение принципа Дирихле.	1	Узнавание основных задач решаемых с помощью принципа Дирихле
	Принцип Дирихле в задачах с «геометрической» направленностью.	1	Узнавание основных задач решаемых с помощью принципа Дирихле
	Решение задач.	1	Узнавание основных задач решаемых с помощью принципа Дирихле ч
	9. Квадратный трёхчлен. Задачи с параметрами. Использование при доказательстве неравенств.	2
	Расположение корней квадратного трёхчлена.	1	Изучение условий расположения корней квадратного трёхчлена.
	Квадратный трёхчлен в доказательстве неравенств.	2	Использование свойств квадратного трёхчлена в доказательстве неравенств

7. Описание учебно-методического и материально-технического

обеспечения образовательного процесса

1. Фарков А.В. Готовимся к олимпиадам по математике: учебно-методическое пособие. – М.: Издательство «Экзамен», 2010;

2. Сгибнев А.И. Делимость и простые числа. – М.: МЦНМО, 2012;

3. Фарков А.В. Математические олимпиады: муниципальный этап. 5-11 классы. – М. ИЛЕКСА, 2012;

4. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекалку. – М.: Просвещение, 2008 г.

5. Коннова Е.Г.; под ред. Ф.Ф.Лысенко. Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад.: 5-8 класс. Ч. 1.: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2009.

6. Коннова Е.Г.; под ред. Ф.Ф.Лысенко. Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад.: 6-9 класс. Ч. 2.: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2009.

7. http://school-collection.edu.ru/catalog/pupil/?&subject[]=16&class[]=49 - единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

8. http://www.problems.ru/about_system.php - проект МЦНМО «задачи»

9. http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=384 – готовься к олимпиадам и конкурсам.

10.  Задачи муниципальных , Региональных, Всероссийских олимпиад , текущего года.

11. Рукшин С. Е. Теория чисел в задачах

12. Шарыгин И. Ф Сборник задач по планиметрии

 

8 .Планируемые результаты обучения .

В результате изучения курса учащиеся научатся:

· использовать признаки делимости;

· способам решения логических задач;

· способам преобразования числовых выражений, содержащих дроби;

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

· выполнять деление чисел, используя признаки делимости;

· решать задачи с использованием свойств четности;

· применять основную теорему арифметики и использовать свойства делимости;

·  находить часть и проценты от числа при решении более сложных задач на проценты;

· решать логические задачи;

· применять принцип Дирихле при решении простейших задач и задач с «геометрической» направленностью, в задачах теории чисел и комбинаторно- логических задачах;

· находить несколько правильных решений одной и той же задачи, вести разумную запись решения задач на переливания и взвешивания,

· применять способы преобразования числовых выражений, содержащих дроби,

· применять основную теорему арифметики и использовать свойства,

· научиться находить часть и проценты от числа при решении более сложных задач.

· применять методы «модуль», «разбиение на пары», алгебраические методы, неравенство и рост при решении задач теории чисел;

· научиться решать ключевые задачи по темам «площадь», «метод вспомогательной окружности»;

·  решать задачи с параметрами используя свойства квадратного трёхчлена, использовать понятие инварианта при решении разных логических задач;

·  решать серию ключевых задач по теории графов;

·  пользоваться методом математической индукции при доказательстве утверждений основанных на числах натурального ряда.

Учащиеся получат возможность:

накопить некоторый «багаж» олимпиадных идей и методов решения, что позволит им не пугаться незнакомых задач, в том числе и тех, которые не входят в базовую школьную программу.