Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Под термином ``алгебра'' в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие . Используются определения и обозначения из работы [1]. Дополнительно отметим, что конгруэнции произвольной алгебры обозначаются греческими буквами. Если - конгруэнция на алгебре , то - класс эквивалентности алгебры по конгруэнции , - факторалгебра алгебры по конгруэнции . Если и - конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию на алгебре назовем фактором на . Очевидно, что тогда и только тогда, когда . или и или - соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры . Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6]. Определение 2.1. Пусть и - конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что: 1) из всегда следует ; 2) для любого элемента всегда выполняется
3) если , то . Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы. Лемма 2.1. Пусть . Тогда: существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1; ; если , то . Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре существует такая единственная наибольшая конгруэнция , что . Эту конгруэнцию будем называть централизатором конгруэнции в и обозначать . Лемма 2.2. Пусть - конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения: ; , где ; если, , либо , либо , то всегда ; из всегда следует . Доказательство. 1). Очевидно, что - конгруэнция на , удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1 . 2). - конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит, . 3). Пусть . Тогда
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что , для любых элементов . Тогда получим
Аналогичным образом доказываются остальные случаи п.3). 4). Пусть . Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно, , где - мальцевский оператор. Тогда , т.е. . Так как и , то . Таким образом . Лемма доказана. В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]). Лемма 2.3. Любая подалгебра алгебры , содержащая конгруэнцию , является конгруэнцией на . Доказательство следующего результата работы [5] содержит пробел (следствие 224 [5] неверно, см. [7]), поэтому докажем его. Лемма 2.4. Пусть . Тогда для любой конгруэнции на
Доказательство. Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом:
тогда и только тогда, когда , где , . Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре , причем . Пусть , т.е. , . Тогда и, значит, . Пусть, наконец, имеет место и . Тогда справедливы следующие соотношения:
Применяя мальцевский оператор к этим трем соотношениям, получаем: . Из леммы 2.2 следует, что . Так как и , то . Значит, . Но , следовательно, . Итак, и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана. Лемма 2.5. Пусть и - конгруэнции на алгебре , и - изоморфизм, определенный на . Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором . В частности, . Доказательство. Очевидно, что - изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и . Так как , то определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что - конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции . Это и означает, что . Лемма доказана. Если и - факторы на алгебре такие, что , то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в . Напомним, что факторы и на алгебре называются перспективными, если либо и , либо и . Докажем основные свойства централизаторов конгруэнций. Теорема 2.1. Пусть - конгруэнции на алгебре . Тогда: если , то ; если , то ; ; если , и факторы , перспективны, то если - конгруэнции на и , то
Доказательство. 1). Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то . 2). Из п.1) леммы 2.2 следует, что , а в силу леммы 2.4 получаем, что . Пусть - изоморфизм . Обозначим
По лемме 2.5 , а по определению
Следовательно, . 3). Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнций и на алгебре имеет место равенство:
Покажем вначале, что
Обозначим . Тогда, согласно определения 2.1, на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства: а) если , то ; б) для любого элемента , ; в) если и , то . Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
тогда и только тогда, когда и , . Покажем, что - конгруэнция на . Пусть , . Тогда и , . Так как - конгруэнция, то для любой -арной операции имеем:
Очевидно, что ( , и , . Следовательно, . Очевидно, что для любой пары . Значит, . Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, т.е. централизует . Пусть
Тогда и . Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1. Если , то , значит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда . Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому . Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, т.е. централизует . Докажем обратное включение. Пусть . Тогда на алгебре определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и , . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения следует, что . Покажем поэтому, что централизует . Так как , и , то , т.е. удовлетворяет условию 1) определения 2.1. Если , то , следовательно, . Пусть имеет место (3) и . Так как , , то и . Из (4) следует, что , следовательно, , т.е. . На основании леммы 2.2 заключаем, что . Следовательно, . Но так как , то , т.е. . 4) Обозначим . Пусть и удовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что . Теорема доказана. Как следствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах. Мультикольцо
Согласно [2] алгебра сигнатуры называется мультикольцом,если алгебра -группа(не обязательно абелева).Все операции из имеют ненулевые арности и для любой -арной операции и любых элементов имеет место = ,для любого . Заметим,что мультикольцо является дистрибутивной -группой в смысле определения Хиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Для мультиколец справедливы следующие равенства:
где ,как обычно, обозначается элемент,противоположный к элементу . Докажем,например,первое равенство.
Прибавляя к обеим частям равенства элемент,противоположный к элементу
получаем требуемое равенство. Определение. Подалгебра мультикольца называется идеалом [9],если -нормальная подгруппа группы и для любой -арной операции , произвольного и любых , имеет место
В частности,если -нульарная или унарная операция,то это означает,что
Как следует из примера [8] конгруэнции на мультикольце перестановочны. Следующая теорема устанавливает соответствие между идеалами и конгруэнциями мультикольца. Теорема 3.1 [2] Пусть -идеал мультикольца и
Тогда -конгуэнция на и любая конгруэнция на имеет такой вид для подходящего идеала . Доказательство. Так как
то . Покажем,что -подалгебра алгебры .Проверим вначале замкнутость относительно групповых операций. Пусть , т.е. . Тогда в силу того,что ,получаем
т.е.
т.е. . Пусть теперь -n-арная операция и , Так как -идеал,то получаем
т.е. . Теперь из леммы [8] следует,что -конгруэнция на . Обратно,пусть -конгруэнция на . Положим
Из [8] следует,что -нормальная подгруппа группы . Аналогичным образом,как и в [8],показывается,что -идеал мультикольца . Теорема доказана. Следствие 3.2. Решетка идеалов мультикольца изоморфна решетке его конгруэнций. Определение 3.3 [3].Пусть -идеал мультикольца .Тогда централизатором в называется наибольший идеал в такой,что для любого и любого выполняются следующие условия: 1) ; 2) для любой -арной операции ,любых различных ,произвольных справедливо
Теорема 3.4. Пусть и -идеалы мультикольца и . Тогда и индуцируют на соответственно конгруэнции и , где
тогда
Доказательство : Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы и ,что справедливы равенства
Очевидно,что -отношенме эквивалентности на , удовлетворяющее условиям 1)-3) определения 2.1.,замкнутость которого относительно групповых операций доказана в примере [8] Пусть теперь - -арная операция и Тогда
и для любых Следовательно,
Подставляя в правую часть последнего равенства значения и учитывая,что после раскрытия скобок члены,одновременно содержащие элементы и ,равны нулю , получаем в правой части равенства выражение
Так как -идеал,то
Итак,
тогда . Теорема 3.5 Пусть и -идеалы мультикольца , , -конгруэнции,определенные в теореме 3.4. и .Тогда . Доказательство : Пусть -конгруэнции мультикольца 2019-07-03 |
175 |
Обсуждений (0) |
|
5.00
из
|
|
Обсуждение в статье: Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр |
Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓ |
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...
Система поиска информации
Мобильная версия сайта
Удобная навигация
Нет шокирующей рекламы