Контрольная работа № 2

Контрольная работа № 1

Задача 4. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями: x₁=A₁t+B₁t²+C₁t³; x₂=A₂t+B₂t²+C₂t³, где А₁=20 м/с, В₁=2 м/с², С₁= -4 м/с³; А₂=2 м/с, В₂=2 м/с², С₂=0,5 м/с³. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости и ускорения точек в этот момент. Найти среднюю скорость первой точки за промежуток времени с момента начала движения до момента равенства их скоростей.

Дано: X1 = 20·t + 2·t2 - 4·t3 X2 = 2·t + 2·t2 + 0,5·t3 V1t1 = V2t1	Решение: 1. Скорости точек находим как производные от координаты по времени: U1 =  = 20 + 4·t - 12·t2; U2 =  = 2 + 4·t + 1,5·t2.
t1 - ? V1t1 - ? V2t1 - ? a1t1 - ? a2t1 - ? Vср1 - ?

2. По условию V_1t1 = V_2t1

20 + 4·t₁ - 12·t₁² = 2 + 4·t₁ + 1,5·t₁²

18 = 13,5·t₁²

t₁ =  = 1,15 с - момент времени, когда скорости точек одинаковы.

3. Найдём скорости точек в момент времени t₁ = 1,15 с.

U_1t1 = 20 + 4·t₁ - 12·t₁² = 20 + 4·1,15 -12·1,15² = 8,7 м/с;

U_2t1 = 2 + 4·t₁ + 1,5·t₁² = 2 +4·1,15 + 1,5·1,15² = 8,6 м/с.

4. Определим ускорения точек в момент времени t₁ = 1,15 с.

а_1t1 =  = 4 - 24·t₁ = 4 - 24·1,15 = -23,6 м/с²;

а_2t1 =  = 4 + 3·t₁ = 4 + 3·1,15 = 7,45 м/с².

5. Средняя скорость первой точки:

V_ср = ,

где S - путь, пройденный за отрезок времени, пройденный точкой за период от t₀ = 0 до t₁ = 1,15 с.

Проверим, не меняется ли направление скоростиV₁ в этом интервале времени.

V_1t0 = 0 = 12·t² - 4·t - 20

t_1,2' =  = ;                 t₁' = 1,468 c;     t₂' < 0

Направление V₁ не меняется

S = X_t1 - X_t0 = (20·1,15 + 2·1,15² - 4·1,15³) - 0 = 19,56 м.

V_ср1 =  = 17,01 м/с.

Ответ: t₁ = 1,15 с; V_1t1 = 8,7 м/с; V_2t1 = 8,6 м/с; а_1t1 = -23,6 м/с²; а_2t1 = 7,45 м/с²; V_ср1 = 17,01 м/с.

Задача 14. На автомобиль массой 1 т во время движения действует сила трения, равная 0,1 действующей на него силы тяжести. Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с ускорением 1 м/с² в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.

Дано: m = 1 т = 1000 кг Fтр = 0,1·Р а = 1 м/с2	Решение:
F - ?

Рисунок 1

На автомобиль действуют сила тяжести P = m·g, сила трения F_тр, сила тяги F и сила нормального давления N.

По II закону Ньютона  = m· . В проекции на ось Х это уравнение запишется как:

F - P·sinα - F_тр = m·a                                                                             (2.1)

sinα =  = 0,04;            α = 2,29^о.

F - m·g·sinα - 0,1·m·g = m·a.

Сила тяги:

F = m·a + m·g·sinα + 0,1·m·g = m·(а + g·sinα + 0,1·g).

F = 1000·(1 + 9,81·sin2,29^o + 0,1·9,81) = 2373 Н.

 

Ответ: F = 2373 Н.

Задача 24. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения 5 . Найти массу диска, если известно, что диск вращается с постоянным ускорением  = 100 рад/ .

Дано: R = 0,2 м F = 98,1 Н Мтр = 5 Н·м Ε = 100 рад/с2 = const	Решение
m - ?

Рисунок 2

Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

М·= J·ε.                                                                                                 (3.1)

где М - момент всех внешних сил относительно оси вращения

М = F·R - M_тр;

J = ·m·R² - момент инерции однородного силового диска;

ε - угловое ускорение.

Из уравнения (3.1)

F·R - М_тр = ·m·R²·ε,

отсюда масса

m =  =  = 7,31 кг.

 

Ответ: m = 7,31 кг.

Задача 84. Водород, находящийся в состоянии 1 (р₁ = 0,1 МПа, Т₁ = 300 К, V₁= 1л), перевели в состояние 2, адиабатно уменьшив давление на 20%. Затем изобарно объём газа был увеличен до V₃ =2 л. Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

Дано: p1 = 0,1 МПа = 0,1·106 Па Т1 = 300 К V1 = 1 л = 1·10-3 м3 p2 = 0,8·p1 V3 = 2 л = 2·10-3 м3	Решение По первому началу термодинамики: Q = ΔU + A                                       (9.1) где ΔU - изменение внутренней энергии, A - работа, совершаемая газом. 1. Адиабатный процесс совершается без теплообмена с окружающей средой и описывает переход системы из 1-го во 2-е состояние.
А - ? ΔU - ? Q - ?

Поэтому Q₁₂ = 0.                                                                                  (9.2)

Уравнение (9.1), записанное для адиабатного процесса, имеет вид:

ΔU₁₂ = - А₁₂.                                                                                          (9.3)

Известно, что изменение внутренней энергии для любого термодинамического процесса:

ΔU = ·C_V·ΔТ.

Тогда, в нашем случае:

ΔU₁₂ = ·C_V·(Т₂ - Т₁),                                                                           (9.4)

где m - масса газа,

C_V = ·R - молярная теплоёмкость при постоянном объёме,

i =5 - число степеней свободы двухатомной молекулы, какой является молекула H₂;

R = 8,31 Дж/(моль·К) - молярная газовая постоянная;

М = 2·10^-3 - кг/моль - молярная масса водорода.

Объём р₂ найдём из уравнения Пуассона:

 = ;

где γ =  =  =  =  = 1,4 - показатель адиабаты.

V₂ = V₁·  = 1·10^-3·  = 1,17·10^-3 м³.

Температуру Т₂ найдём, используя уравнение Пуассона, описывающее адиабатный процесс:

 =

Отсюда

Т₂ = Т₁·  = 300·  = 282 К.

Массу газа найдём из уравнения Менделеева-Клапейрона, записанного для состояния 1:

р₁·V₁ = ·R·T₁

откуда

m =  =  = 8·10^-5 кг.

ΔU₁₂ = · ·8,31·(282 - 300) = - 15 Дж.

А₁₂ = -ΔU₁₂ = 15 Дж.

Параметры состояния 2: Т₂ = 282 К; р₂ = 0,08·10⁶ Па; V₂ = 1,17·10^-3 м³.

Параметры процесса 1-2: Q₁₂ = 0; ΔU₁₂ = - 15 Дж; А₁₂ = 15 Дж.

2. Переход из состояния 2 в состояние 3 происходит изобарно. Работа, совершаемая газом:

А = р·(V₃ - V₂) = 0,08·10⁶·(2·10^-3 - 1,17·10^-3) = 66,4 Дж.

Изменение внутренней энергии:

ΔU₂₃ = ·C_V·ΔТ = · ·R·(Т₃ - Т₂).

Температуру T₃ найдём по закону Гей-Люссака:

 =

Т₃ = Т₂·  = 282·  = 482 К.

ΔU₂₃ = · ·8,31·(482 - 282) = 166,2 Дж.

Количество теплоты, подведённой к газу:

Q = ΔU + A = 166,2 + 66,4 = 232,6 Дж.

Параметры состояния 3: р₃ = 0,08·10⁶ Па; Т₃ = 482 К; V₃ = 2·10^-3 м³.

Параметры процесса 2-3: ΔU₂₃ = 166,2 Дж; Q₂₃ = 232,6 Дж; А₂₃ = 66,4 Дж.

 

Ответ: Т₂ = 282 К; р₂ = 0,08·10⁶ Па; V₂ = 1,17·10^-3 м³; р₃ = 0,08·10⁶ Па;

Q₁₂ = 0; ΔU₁₂ = - 15 Дж; А₁₂ = 15 Дж Т₃ = 482 К; V₃ = 2·10^-3 м³; ΔU₂₃ = 166,2 Дж;

Q₂₃ = 232,6 Дж; А₂₃ = 66,4 Дж.

 

Рисунок 5

Контрольная работа № 2

Задача 4. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными нитями, заряженными с линейными плотностями τ₁ = 0,1 мкКл/м, τ₂ = 0,01 мкКл/м, находящимися на расстоянии а = 10 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке на расстоянии r₁ = 8 см от первой и r₂ = 12 см от второй нити.

Дано: τ1 = 0,1 мкКл/м = 0,1·10-6 Кл/м τ2 = 0,01 мкКл/м = 0,01·10-6 Кл/м r1 = 8 см = 0,08 м r2 = 12 см = 0,12 м a = 10 см = 0,1 м

Решение