Нахождение экстремумов функций с помощью инструмента Поиск решения

1.

Решение математических задач в среде Excel

Численное дифференцирование

Известно, что численными приближенными методами производная функции в заданной точке может быть вычислена с использованием конечных разностей. Выражение, записанное в конечных разностях, для вычисления производной функции одного переменного имеет вид:

Для вычисления производной в Excel будем использовать приведенную зависимость.

Рассмотрим методику вычисления производной на примере упражнения.

Упражнение 1

Допустим требуется найти производную функции Y= 2x³ + x² в точке x=3. Производная, вычисленная аналитическим методом, равна 60.

Для вычисления производной выполните следующие действия:

§

табулируйте заданную функцию в окрестности точки х=3 с достаточно малым шагом, например 0,001 (см рис.)

 

_§ в ячейку С2 введите формулу вычисления производной. Здесь ячейка В2 содержит значение х_к+1, ячейка А2 - х_к.

§ буксировкой скопируйте формулу до строки 7, получим значения производных в точках табуляции аргумента.

Для значения х =3 производная функции равна значению 60,019, что близко к значению, вычисленному аналитически.

Численное вычисление определенных интегралов

Для численного вычисления определенного интеграла методом трапеций используется формула:

 

Методику вычисления определенного интеграла в Excel с использованием приведенной формулы рассмотрим на примере.

Упражнение 2

 

Пусть требуется вычислить определенный интеграл        

Величина интеграла, вычисленная аналитически равна 9. Для численного вычисления величины интеграла с использованием приведенной формулы выполните следующие действия:

§ табулируйте подинтегральную функцию в диапазоне изменения значений аргумента 0 – 3 (см. рис.).

§ в ячейку С3 введите формулу =(A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2+C2, которая реализует подинтегральную функцию.

§

Скопируйте буксировкой формулу, записанную в ячейке С3 до значения аргумента х = 3. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной заданного интеграла - 9.

Нахождение экстремумов функций с помощью инструмента Поиск решения

Если функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет внутри этого отрезка локальный экстремум, то его можно найти используя надстройку Excel Поиск решения.

Рассмотрим последовательность нахождения экстремума функции на примере следующего упражнения.

Упражнение 3

Пусть задана неразрывная функция Y= X²+X +2. Требуется найти ее экстремум (минимальное значение).

Для решения задачи выполните действия:

§ В ячейку А2 рабочего листа введите любое число принадлежащее области определения функции, в этой ячейке будет находиться значение Х;

§ В ячейку В2 введите формулу, определяющую заданную функцию. Вместо переменной Х в этой формуле должна быть ссылка на ячейку А2: =A2^2 + A2 +2

§  Выполните команду меню Сервис/Поиск решения;

§ Настройте параметры инструмента Поиск решения: число итераций – 1000, относительная погрешность 0,00001.

§ в поле Установить целевую ячейку укажите адрес ячейки, содержащей формулу ( А2), установите переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейки введите адрес ячейки, содержащей Х (А2);

§ Щелкните на кнопке Выполнить. В ячейке А2 будет помещено значение Х функции, при котором она имеет минимальное значение, а в ячейке В2 – минимальное значение функции.

Обратите внимание, что в окне Поиск решения можно устанавливать ограничения. Их целесообразно использовать, если функция многоэкстремальна, а нужно найти экстремум в заданном диапазоне изменения аргумента.