Создание теории действительного числа

 

После «наведения порядка» в математическом анализе встал вопрос о ситуации в арифметике. «К необходимости разработки теории действительных чисел приводили многие задачи анализа и некоторые способы рассуждений, применявшиеся при решении этих задач»[4, стр. 61]. Проблема основания, понимания того, что же такое число, в XIX в. еще не была решена. С нашей точки зрения, это была задача о пополнении множества рациональных чисел. Ее пытались решить следующим способом(приведен по [4]):

Определим иррациональное число как предел последовательности рациональных чисел. Надо показать, что такая последовательность сходится. Для этого воспользуемся критерием Коши, который будет справедлив для любых рациональных значений, однако для того чтобы ответить на вопрос будет ли он справедлив для действительных чисел необходимо иметь определенными иррациональные числа. Получался замкнутый круг.

Эта задача была решена в XIX веке с разных точек зрения и независимо друг от друга Вейерштрассом, Дедекиндом, Кантором и Мерэ.

Карл Вейерштрасс

 

Карл Вейерштрасс родился в городе Остенфельд (предместье Эннигерло), в семье секретаря бургомистра. В 1834 г. с успехом закончил Пандерборнскую гимназию, его имя было в списке 11 самых талантливых учеников. По настоянию отца в 1834 году Вейерштрасс поступает в Боннский университет для получения юридического образования. Но юридические науки его не увлекали, большую часть времени он уделял занятиям математикой. Через 4 года Вейерштрасс бросает университет, не сдав ни одного экзамена. В 1839 году поступает в Мюнстерскую академию, а в 1841 году блестяще сдает выпускную работу. После окончания университета работает учителем в провинциальных городах Германии. В 1845 публикует статью по абелевым функциям, за которую получает докторскую степень от Кенигсбергского университета. В 1861 избирается членом Баварской академии наук. С 1856 по 1889 читает лекции в Берлинском унивеситете. Умер Вейрштрасс в 1897 году.

Математическое творчество отличается стремлением к ясности и строгости. Как пишет о нем Пуанкаре[5]: «Вейерштрасс отказывается пользоваться интуицией или по крайней мере оставляет ей только ту часть, которую не может у нее отнять» Работы Вейерштрасса охватывают широкий круг проблем: абелевы и эллиптические функции, комплексные величины, теория рядов и многие другие.

Вейерштрасс сыграл главную роль в арифметизации математического анализа. Он стремился к тому, чтобы все понятия математики перевести в буквенно-числовые. Он ушел от любых интуитивных и геометрических представлений понятия функции. Чтобы уйти от туманных формулировок вроде «Неограниченное приближение одной величины к другой», был создан язык , который позволял теперь рассматривать функции как числовые соответствия между множествами, непрерывность которых можно установить при помощи арифметических неравенств. Вейерштрасс опроверг некоторые интуитивные представления о функциях, например, он построил непрерывную функцию не имеющей производной ни в одной точке.

Вейерштрасс придерживался точки зрения, что строгость анализа зависит от арифметики. Поэтому он начинает работать над приведением в порядок доставшегося от греков математического наследства несоизмеримых. Он отделяет понятие числа от понятия величины.

Приблизительно в 1863 году Карл Вейерштрасс создает теорию вещественных чисел, которая разрешает логические нестыковки арифметики. К сожалению, он не издавал её, а изложил на лекции своим ученикам. Вейерштрасс дал свое построение в терминах точных частей единицы, но здесь оно рассмотрено в современной трактовке.

Положим что у нас есть рациональные числа. Возьмем множество  рациональных такое, что его сумма любого конечного числа элементов не превосходит заданных границ. Если мы будем теперь составлять из этих чисел сумму, то если сумма будет конечной. Таким образом, конечная сумма этих чисел будет представлять рациональное число, мы можем сопоставить любому рациональному числу некоторый конечный набор из некоторого множества . С иррациональным числом этот набор будет бесконечным. Далее, возьмем два бесконечных набора. Будем считать что рациональные числа представлены несократимыми дробями. Рассмотрим набор чисел натуральных чисел . Если для  сумма дробей вида  из первого множества совпадает с суммой таких же дробей из второго множества, то иррациональные числа совпадают друг с другом. Рассмотрим первый номер  для которого это равенство не выполняется. Если для имеет место равенство , где суммы составлены по таким рациональным числам, которые имеют вид , то первое число больше второго. Если имеется обратное неравенство, то второе число больше первого. Сложение чисел определяется операцией объединения множеств. Вычитание определяется как операция обратная сложению. Составление агрегата вида , где умножение составляется по всевозможным элементам, определяет умножение.

Таким образом, Вейерштрасс построил вещественное число. Стоит отметить, что он не приравнивает число к ряду, тем самым избегает логической ошибки своих предшественников. Из этого построения видно, что оно определяет взаимооднозначное соответствие: с одной стороны из рационального чисел можно построить вещественной число, с другой каждое вещественной число можно определить некоторым построением из вещественных чисел. Кроме того, оно использует актуально бесконечные множества.

Стоит еще раз подчеркнуть, что Вейерштрасс в своем определении вещественного числа исходит только из арифметики, не связывая их с точками на прямой.

Построение вещественных чисел позволило перейти от механического, геометрического понятия предела к теоретико-множественному. Также при помощи строго определения понятия числа Вейерштрасс развил теорию аналитических функций. Также в работах Вейерштрасса встречается прообраз того, что мы называем мощностью множеств.

 

Георг Кантор

 

Родился 3 марта 1845 в Санкт-Петербурге и рос там до 11-летнего возраста. Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. Продолжил он образование в Федеральном политехнический институте в Цюрихе. Спустя год, после смерти отца, Георг получил наследство и перевёлся в Берлинский университет. Там он посещает посещает лекции Кронекера, Вейерштрасса, Куммера. Лето 1866 года Кантор провёл в университете Гёттингена, важном центре математической мысли. В 1967 году в Берлине получил степень доктора за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

После непродолжительной работы преподавателем в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера. В 1872 году он становится адъюнкт-профессором, тогда же, во время отпуска, завязывает дружбу с Рихардом Дедекиндом. В 34 года Кантор становится профессором математики. В 1879-84 он систематически излагает своё учение о бесконечности; «ввёл понятия предельной точки, производного множества, построил пример совершенного множества, развил одну из теорий иррациональных чисел, сформулировал одну из аксиом непрерывности» [8]. Несмотря на такую успешную карьеру, мечтает о должности в более престижном университете, например, Берлинском. Однако, мечтам не удаётся воплотиться в жизнь: многие современники, в том числе Кронекер, который рассматривается сейчас как один из основателей конструктивной математики, с неприязнью относятся к канторовской теории множеств, поскольку та утверждает существование множеств, удовлетворяющих неким свойствам, — без предоставления конкретных примеров множеств, элементы которых бы действительно удовлетворяли этим свойствам.

В 1984 году Кантор испытал приступ глубокой депрессии и на время отходит от математики, смещая свои интересы в сторону философии. Затем возвращается к работе. В 1897 году он прекращает научное творчество. Умер Кантор в Галле 6 января 1918.

Одна из актуальных проблем XIX века была проблема бесконечного деления отрезков и существование точки , принадлежавшей всем таким стягивающимся отрезкам. Эта задача требовала понятия действительного числа.

Построение Кантором теории действительного числа было опубликовано 1872 году, почти одновременно с теорией Вейерштрасса и Дедекинда. В своем построении Кантор исходит из наличия рациональных чисел. Затем он вводит фундаментальные последовательности Коши и приписывает им формальный предел. Далее, он рассматривает разбивает все последовательности на классы эквивалентности. К одному и тому же классу последовательности относятся тогда и только тогда, когда их разность стремится к нуль, то есть . Далее, формальные пределы равны друг другу, если они имеют две такие фундаментальные последовательности, которые эквивалентны друг другу или . Отношение порядка определяется следующим образом.

Если  и  то . Если  то .

Таким образом, классы эквивалентности описывают некоторые вещественные числа. Назовем их вещественными числами первого порядка. Если мы попробуем образовать вещественное число большего порядка, составляя фундаментальные последовательности Коши, то получим опять множество вещественных чисел первого порядка. Иными словами, множество вещественных чисел замкнуто.

Кантор обращает внимание тот факт, что в определении вещественного числа лежит актуально бесконечное множество рациональных чисел: «...к определению какого-нибудь иррационального числа всегда принадлежит некоторое строго определенное множество первой мощность рациональных чисел»[3].

Заметим, что построение Кантора можно обобщить на другие объекты, что была сделано Кантором и его последователями, «разработка теорий действительного числа была достаточно существенной предпосылкой создания теории множеств»[4, стр. 63]. Например, на основе своего построения вещественного числа Кантор впоследствии свою теорию трансфинитных чисел.

Кроме того, Кантор ввел понятие мощности множеств и доказал неэквивалентность иррациональных и рациональных чисел.

Рихард Дедекинд

 

Дедекинд Рихард Юлиус Вильгельм родился 6 октября 1831 года в Брауншвейге (Нижняя Саксония). Там он провёл большую часть своей жизни и умер 12 февраля 1916 года. Отучившись в Карловском коллегиуме в его родном городе, в 1850 году Дедекинд поступает в Гёттингенский университет, ведущий и старейший в Нижней Саксонии. В числе его университетских друзей был Бернхард Риман.

В 1852 году в возрасте 21 год Дедекинд получает докторскую степень за работу над диссертацией по теории интегралов Эйлера. Затем, отучившись в Берлинском университете 2 года, он вернулся в Гёттинген и в должности приват-доцента преподавал курсы теории вероятности и геометрии. В 1855 году, после смерти Гаусса, его кафедру занял Дирихле, общение с которым оказало огромное влияние на Дедекинда; они стали близкими друзьями. Первое время Дедекинд изучал эллиптические и абелевы функции. Кроме того, он был первым в Гёттингене, кто преподавал теорию Галуа и ввёл в широкое употребление предложенное Галуа понятие поля.

В 1858 году Дедекинд начал преподавать в Техническом университете в Цюрихе. Когда в 1862 году Карловский коллегиум был преобразован в Технический институт, Дедекинд возвращается в родной Брауншвейг на должность профессора, где до конца своей жизни преподаёт.

В 1971 году при переиздании "Лекций по теории чисел" Дирихле, в десятом (в более поздних изданиях — одиннадцатом) дополнении он изложил свои труды, за которые получил научное признание. «Этой и другими своими работами, в которых введены понятия кольца, модуля и идеала, Дедекинд заложил основы современного аксиоматического изложения математических теорий» [13].

В том же году он знакомится с Георгом Кантором. Знакомство перешло в долголетнюю дружбу и сотрудничество; Дедекинд стал одним из первых сторонников канторовской теории множеств. Сформулировал (1888 год) систему аксиом арифметики (ее обычно называют аксиомами Пеано), содержащую, в частности, точную формулировку принципа полной математической индукции. Ввел в математику в самом общем виде теоретико-множественное понятие отображения. В 1894 году Дедекинд ушёл на заслуженный отдых, но продолжал иногда читать лекции и публиковаться.

Он никогда не был женат и проживал со своей незамужней сестрой Юлией. Дедекинд избирался членом в Академии Берлина (1880 год) и Рима, а также в Французскую Академию наук (1900). Он получил докторские степени в университетах Осло, Цюриха и Брауншвейга. Издал лекции по теории чисел, читанные Дирихле, труды Гаусса, а также (совместно с Г. Вебером) полное собрание сочинений Римана.

Дедекинд, также как и Вейерштрасс, обнаружил логическую трудность перехода от геометрического анализа к арифметическому, состоящую в неопределенности вещественного числа. Свое построение действительного числа Дедекинд относит к осени 1858 года. Поход к вещественному числу Дедекинда близок к подходу Евдокса настолько, что некоторые математики не сразу видели различие[10]. Дедекинд исходит из геометрического представления о том, что точка делит прямую на две части, которые условно можно назвать правой и левой. Далее Дедекинд определяет сечение множества рациональных чисел как пару подмножеств Q, такую что любой элемент из одного множества всегда больше любого элемента из другого множества. Для определенности будем считать, что . Сечения могут быть определены рациональным числом, тогда либо  имеет минимальный элемент, либо  имеет максимальный элемент. Если же мы построим сечение обладающее таким свойством, то оно определяет рациональное число. Однако, существуют сечения не имеющие такое свойство, например сечение всех рациональных чисел, определенное неравенством . Таким образом, при помощи сечения можно определить новое число,которое однозначно определяется сечением. Отношение равенства и порядка устанавливаются при помощи двух множеств сечения — Дедекинд показал, что существует только три соотношения между классами сечения, которые и определяют упорядоченность поля вещественных чисел. Как и Кантор, он доказал полноту построенного множества чисел.

Дедекинд дал одно из первых определений непрерывности: «Если разбить все величины какой-то области, устроенной непрерывным образом, на два таких класса, что каждая величина первого класса меньше любой величины второго класса, то либо в первом классе существует наибольшая величина, либо во втором классе существует наименьшая величина»[4].

Следует отметить, что несмотря на безусловную строгость построения, в подходе Дедекинда ощущается большая геометричность, чем у Вейерштрасса, «и Дедекинд и Кантор сразу же выдвигают аксиому о взаимооднозначном соответствии между построенными ими действительными числами и точками прямой»[4, стр. 62].

Заключение

 

Новые воззрения в математическом анализе не приживались гладко. Жестко критиковал учение Вейерштрасса, например, Кронекер. Критику Кантора можно уверенно сравнить с травлей. Но время доказало правильность выбранного курса. Привычный нам вид математического здания во многом был построен благодаря таким ученным как Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд.

Построение вещественного числа завершило постройку фундамента для математического анализа. Вопрос аксиоматического построения анализа был практически завершен: все, что оставалось сделать - это построить аксиоматику целых и рациональных чисел. Эта задача была завершена Ж. Пеано в 1889 году. Однако, построение вещественного числа не является узкоспециальным вопросом математики, как, например, Великая теорема ферма. Благодаря работам Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда в обращение вошли актуально бесконечные объекты: вещественное число, стало фактически первым таким объектом. Строгие построения основанные на аксиоматике, способствовали переходу математиков от «чувственного», «интуитивного» к абстрактному и строгому. Обобщенные методы построения вещественного числа стали впоследствии основой для теории множеств, функционального анализа, интеграла Лебега. Так что с уверенностью можно сказать, что ни один человек не может стать математиком, не зная работ трех великих творцов математики XIX века.

 

Список литературы

 

[1] А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М.: Мир, 1986.

[2] Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963.

[3] Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.-Л.: ГОНТИ, 1937.

[4] Ф.А. Медведев. Развитие теории множеств в XIX. М.: Наука, 1937.

[5] П.Я. Кочина. Карл Вейерштрасс. М.: Наука, 1937.

[6] И.Я. Депман. История арифметики. M.:Просвещение, 1965.

[7] Э.Кольман. История математики в древности. М.: Физматгиз, 1961.

[8] Большая советская энциклопедия. — 3-е изд. / Гл. ред. Прохоров А. М. — М.: Сов. энцикл., 1978.

[9] Энциклопедический словарь. М.: ГНИ «Большая Советская энциклопедия», 1953.

[10] История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, под ред. А.П. Юшкевича. М.:Наука, 1970.

[11] К.А. Рыбников. История математики. Т.1. изд. МГУ, 1960.

[12] З.А. Зорина, И.И. Полетаева. Элементарное мышление животных:учебное пособие. M.: Аспект Пресс, 2002.

[13] Математика XIX века. Том 1. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. Под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1978.

[1]Далее цитаты из «Начал» Евклида, приведенные по[10, стр.96]

[2]Цитата взята из [1, стр. 283]

[3]Цитата взята из [4, стр. 62]

[4]Цитата взята из [1, стр. 291]