Основные теоремы операционного исчисления
Свертка оригиналов. Сверткой оригиналов и называется функция . Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки. Найдем для примера свертку произвольного оригинала и единичной функции Имеем . Так как при то . (2.1.1)
Теорема 1. Если и , то . ∆ Действительно, по определению интеграла Лапласа имеем Воспользуемся определением свертки: Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим . Введем вместо t новую переменную . Тогда что и требовалось доказать. ▲
Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных и : ∆ Это свойство вытекает из свойства линейности интеграла. Домножим равенство на α: Так как , то , то есть Теорема подобия.
Для любого постоянного a> : Умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число . Положим α t = u. Тогда . Таким образом, при t=0 получаем u=0, при получаем и Теорема запаздывания.
для t > τ >0 Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на ept.
Теорема смещения. Для a >0 имеет место соотношение: ∆ Из определения изображения имеем: Теорема упреждения.
При а > 0 имеет место соотношение: Умножение оригиналов
Дифференцирование оригинала
Если и – оригиналы и , то (2.7.1) В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь . Тогда по теореме 1 . Отсюда , что и требовалось доказать. Применив формулу (2.7.1) дважды, получим и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p. Дифференцирование изображения
Если , то , то есть умножению оригинала на (- t) соответствует производная от изображения F(p).
Обобщение: Путем последовательного дифференцирования по параметру p равенства получим: Интегрирование оригинала
Если , то , то есть интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р. Если f(t) принадлежит множеству оригиналов, то и будет принадлежать множеству оригиналов. Пусть и . Из видно, что 1) 2) . Применим свойство дифференцирования оригинала к , и в силу последних двух равенств получим , А отсюда . Но, по условию теоремы, . Следовательно, или . А отсюда и из соотношений и следует, что .
Интегрирование изображения
Если и принадлежит множеству оригиналов, то .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (331)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |