Ограничения, относящиеся к траекториям сочленений

	Описание ограничения	Уравнения ограничения
1   2   3   4     5   6   7   8   9   10   11   12   13   14	Начальное положение схвата   Начальная скорость робота    Начальное ускорение робота   Конечное положение робота при захвате      Непрерывность по положению в момент t1    Непрерывность по скорости в момент t1   Непрерывность по ускорению в момент t1   Начальное положение робота при установке   Непрерывность по положению в момент t2   Непрерывность по скорости в момент t2   Непрерывность по ускорению в момент t2   Конечное положение робота   Конечная скорость робота   Конечное ускорение робота	i(t0) = *i0 i(t0) = *i0 i(t0) = *i0 i(t1) = *i1 i(t1-) = i(t1+) i(t1-) = i(t1+) i(t1-) = i(t1+) i(t2) = *i2 i(t2-) = i(t2+) i(t2-) = i(t2+) i(t2-) = i(t2+) i(t3) = *i3 i(t3) = *i3 i(t3) = *i3

 

Рис. 4.8.3. Применение робота в лазерной резке.

 

Нужно также найти экстремальные значения на траектории перемещения робота с тем, чтобы убедиться, что эти экстремумы не выходят за рабочую поверхность. Таким образом, желательно прибегнуть к полиномам низких степеней путем деления траектории на участки, для которых вычисления выполняются сравнительно легко. Преимуществом таких полиномов низких степеней является то, что для них легче вычислить неизвестные коэффициенты и найти корни их производных при вычислении экстремумов.

Все такие разделенные на участки траектории должны быть непрерывны по положению, скорости и ускорению для достижения плавности движений робота. Для того чтобы это выполнялось, значения перечисленных параметров должны совладать на пересечениях участков.

Приняв во внимание все подобные ограничения, приходим, в конце концов к 14 ограничениям для вычисления неизвестных коэффициентов в точках пересечения трех участков траектории, т. е. траектории типа 4—3—4 и 3—5—3. Три участка начальный, промежуточный и конечный. В табл. 4.8.1 указаны 14 ограничений, относящихся к траекториям, разделенным на участки (рис. 4.8.3).

Чтобы полностью определить три полинома низкой степени при наложении приведенных выше 14 ограничений, сумма показателей степеней переменной t должна быть 14—3, потому что для этих трех различных полиномов имеются три свободных константы. Другими словами, должно быть 14 неизвестных, являющихся коэффициентами полиномов. Три из них являются свободными, так как оyи не умножаются на t. Таким образом, из-за того что полином m-й степени от t должен иметь m+1 коэффициентов, сумма степеней этих полиномов, относящихся к трем участкам, должна быть равна, по меньшей мере 11. Существует множество способов удовлетворить этому условию, в частности 4+3+4, 3+5+3 или 5+2+4. Рассмотрим подробнее некоторые из этих траекторий.

 

ТРАЕКТОРИЯ ТИПА 4 — 3 — 4

 

Для трех участков траектории перемещения, а именно: подъем, промежуточный участок и спуск, существуют полиномы четвертой, третьей и четвертой степеней, которые могут до- вольно хорошо аппроксимировать их. Для поиска решения на каждом из участков удобно ввести безразмерную переменную времени τ, такую, что

 

τ =  и τ_m = t_m - t_m-1

 

где индексы m и m-1 относятся к m-му и (m—1)-му участкам траектории движения робота. Таким образом, при движении по m-му участку траектории безразмерное время τ изменяется от 0 до 1, тогда как реальное время меняется от t_m-1 до t_m. Введение соотношений (4.8.2) значительно упростит выкладки.

Участок 1: Полином четвертой степени. Пусть ρ_mi(τ) является полиномиальным представлением m-го участка траектории движения для i-го сочленения. Тогда

ρ_1i(τ) = C_1j τ^j = C₁₀ + C₁₁ τ + C₁₂ τ² + C₁₃ τ³ + C₁₄ τ⁴, (4.8.3)

τ_{1 1i}(τ) = jC_1j τ^j-1 = C₁₁ + 2C₁₂ τ + 3C₁₃ τ² +4 C₁₄ τ³ , (4.8.4)

τ²_{1 1i}(τ) = j(j-1)C_1j τ^j-2 = 2C₁₂ + 6C₁₃ τ +12 C₁₄ τ². (4.8.5)

 

Заметим, что эти полиномы должны удовлетворять ограничениям, приведенным в табл. 4.8.1. Таким образом,

 

ρ_1i(0) = ^*_i0, _i(0) = ^*_i0, _i(0) = ^*_i0. (4.8.6)

 

Налагая приведенные ограничения на (4.8.3), (4.8.4) и (4.8.5), получим

 

ρ_1i(τ) = C₁₄ τ⁴+ C₁₃ τ³ + ^*_i0τ²₁ τ² + ^*_i0 τ₁ τ + ^*_i0. (4.8.7)

 

Пример 4.8.1

Определить закон движения схвата при подъеме.

Решение. Искомая зависимость относится к углу 9е и, следовательно, нужно положить i = 6 в (4.8.7). Таким образом,

 

ρ_1i(τ) = C₁₄ τ⁴+ C₁₃ τ³ + ^*_i0τ²₁ τ² + ^*_i0 τ₁ τ + ^*_i0 . (4.8.8)

 

Заметим, что в (4.8.7) имеются две неизвестные величины, которые нужно найти, — C₁₄ и C₁₃ ; они определяются из условий непрерывности:

 

_1i(1) = _2i(0), _1i(1) = _2i(0), _1i(1) = _2i(0). (4.8.9)

 

Итак, нужно сначала вычислить _2i(τ).

Участок 2: Полином третьей степени. Используя подход, примененный для участка 1, получаем

 

_2i(τ) = C_2j τ^j = C₂₀ + C₂₁ τ + C₂₂ τ² + C₂₃ τ³, (4.8.10)

τ_{2 2i}(τ) = jC_2j τ^j-1 = C₂₁ + 2C₂₂ τ + 3C₂₃ τ², (4.8.11)

τ²_{2 2i}(τ) = j(j-1)C_2j τ^j-2 = 2C₂₂ + 6C₂₃ τ. (4.8.12)

 

Эти величины должны удовлетворять следующим условиям:

 

_2i(0) = ^*_i1, _2i(0) = ^*_i1, _2i(0) = ^*_i1. (4.8. 13)

 

Соотношения (4.8.2) и (4.8.9) определяют некоторые из неизвестных коэффициентов. Имеем

 

C₂₀ = ^*_i0, C₂₁ = ^*_i1 τ₂, C₂₂ = ^*_i1τ²₂ , (4.8.14)

C₁₄ + C₁₃ = ^*_i1 - ( ^*_i0 + ^*_i0 τ₁ + ^*_i0τ²₁), (4.8.15)

4τ₁^-1C₁₄ + 3τ^-1C₁₃ + τ₂^-1C₂₁ = - ( ^*_i0 + τ ₁ ^*_i0), (4.8.16)

6τ₁^-2C₁₃ + 12τ^-2C₁₄ - 2τ₂^-2C₂₂ = - ^*_i0. (4.8.17)

В конце второго участка мы, однако, должны обеспечить выполнение условий непрерывности, т. е.

 

_2i(1) = _3i(0), _1i(1) = _3i(0), _2i(1) = _3i(0). (4.8.18)

 

Таким образом, чтобы вычислить дополнительные коэффициенты, нужно найти полином для третьего участка.

Участок 3: Полином четвертой степени. По аналогии с подходами, использованными для участков 1 и 2, имеем

 

_3i(τ) = C_3j τ^j = C₃₀ + C₃₁ τ + C₃₂ τ² + C₃₃ τ³ + C₃₄ τ⁴, (4.8.10)

τ_{3 3i}(τ) = jC_3j τ^j-1 = C₃₁ + 2C₃₂ τ + 3C₃₃ τ² + 4C₃₄ τ³, (4.8.11)

τ²_{3 3i}(τ) = j(j-1)C_3j τ^j-2 = 2C₃₂ + 6C₃₃ τ + 12C₃₄τ². (4.8.12)

 

Начальные условия имеют вид

 

_3i(0) = ^*_i2, _3i(0) = ^*_i2, _3i(0) = ^*_i2, (4.8.22)

 

которые в сочетании с формулами (4.8.8) - (4.8.10) дают

 

C₃₀ = ^*_i1, C₃₁ = ^*_i1 τ₃, C₃₂ = ^*_i1 τ²₃.

 

Соотношения непрерывности (4. 8.18) дают теперь

C₂₀ + C₂₁ + C₂₂ = ^*_i2 - ^*_i1, (4.8.24)

τ₂^-1C₂₁ + 2τ₂^-1C₂₂ + 3τ₂^-1C₂₃ - τ₃^-1C₃₁ = 0, (4.8.25) 2τ₂^-2C₂₂ + 6τ₂^-2C₂₃ - 2τ₃^-2C₃₂ = 0, (4.8.26)

 

Наконец, на конце участка должны выполняться ограничения:

 

_3i(1) = ^*_if, _3i(1) = ^*_if, _3i(1) = ^*_if, (4.8.27)

 

Используя соотношения (4.8.27) и (4. 8.19) — (4.8.21), получаем

 

C₃₁ + C₃₂ + C₃₃ + C₃₄ = ^*_if - ^*_i2, (4.8.28)

C₃₁ + 2C₃₂ + 2C₃₃ + 4C₃₄ = ^*_ifτ₃, (4.8.29) 2C₃₂ + 6C₃₃ + 12C₃₄ = ^*_ifτ²_3, (4.8.31)

 

Отметим, что, так как в общем случае ^*_i1 , ^*_i1 , ^*_i2 и ^*_i2 неизвестны, мы определили в явном виде только пять из 14 неизвестных коэффициентов, которыми являются C₁₀, C₁₁, C₁₂, C₁₃, C₁₄, C₂₀, C₂₁, C₂₂, C₂₃, C₃₀, C₃₁, C₃₃ и C₃₄. Известные коэффициенты – это

 

(C₁₀, C₁₁, C₁₂, C₂₀, C₃₀) ≡ ( ^*_i0, ^*_i0 τ₁, ^*_i0τ²₁, ^*_i1, ^*_i2).(4.8.31)

 

Остальные девять уравнений (4.8.15) - (4.8,17), (4.8.24) - (4.8.26) и (4.8.28) — (4.8.30) могут быть представлены в матричной форме, а именно

 

 Х  =

 

=  (4.8.32)

 

Представляя для простоты уравнение (4.8.32) в компактной форме, получаем

 

ВС = δ, (4.8.33)

 

где В — 9Х9-матрица коэффициентов С, а δ — некоторый век- торный массив, относящийся к изменениям углов в сочленениях и их производных по времени, как показано в (4.8.32). Полное решение для С (остальные девять коэффициентов, которые нужно найти) имеет вид

 

С = В^-1 δ (4.8.33)

Пример 4.8.2

Найти полные решения в явной форме для трех полиномов ₁(τ), ₂(τ) и ₃(τ)

Решение. Можно показать, что выражения для коэффициентов C₁₃, C₁₄, C₂₁, C₂₂, C₂₃, C₃₁, C₃₃ и C₃₄ имеют вид (см. положение А)

 

C₁₃ = (τ₂^-1τ₃ + 2τ₁^-1 τ₃ + 2 + 3τ₁^-1 τ₂)^-1 × {2 δ₁^*(4 + 2 τ₂^-1τ₃ + 2τ₁^-1 τ₃ + 3τ₁^-1 τ₂) – δ₂^* τ₂^-1 τ₁(3 + τ₂^-1τ₃) + 2δ₁

 

 

ТРАЕКТОРИЯ ТИПА 3 — 5 — 3

Используя ту же процедуру, что и при выводе соотношений (4.8.41) — (4.8.47), легко показать, что для трех участков траектории можно получить следующие выражения, описывающие движение сочленений:

 

 

- для первого участка,

 

 -

 

 для второго участка и